Exemples. — I. Soit la courbe

qui est la lemniscate. On a, pour x — o, y= o,

df r ,

~- = — ix -\- hxi= o.

df

Tj = ^ = ^

dx~ dx dy

Donc y' est donné par l'équation — 2-4- %y,2 = o, d'oùj/^ zfc 1. Ensuite, la valeur y = ± x y 1 — x2 étant réelle pour x voisin de zéro, la courbe a deux branches réelles passant par l'origine. On a maintenant, en général,

yy' — x — îi,3= o, yy"-+~ yn — 1 — 6x2 = o, yy'" '-+- 3y'y" — 1 ix = o,

d'où l'on tire, pour x — o, y — o, et pour chacune des valeurs de y',y"= o. Ensuite, y'" est donné par l'équation

yy" + 4 y' y'" -4- 3j'/2 — 12 = 0,

qui donne une valeur de y"' différente de zéro. Donc chacune des deux branches de courbe présente une inflexion à l'origine.