PLANS TANGENTS AUX COURBES NON PLANES

pencliculaire sur le milieu d'une corde infiniment petite, menée par le point donné de la courbe.

On aurait pu partir de cette propriété du plan normal, prise comme définition, et en déduire les équations de la tangente, qui lui est perpendiculaire.

629. Tout plan passant par la tangente est dit un plan tangent à la courbe. Les équations (5) représentent deux plans tangents à la courbe. L'équation générale d'un plan tangent sera celle d'un plan passant par l'intersection des plans (5), savoir

H- [ÀF'(, )+[, /'(,)] (S-3) = o,

- étant une indéterminée quelconque.

On peut encore obtenir directement l'équation d'un plan tangent. L'équation d'un plan quelconque passant par le point (x,y, z) est

de la forme

l ( l — x) -h m [rt —y)-hn[,Ç) — z) = o.

La distance du point (x+/j, y

Ih -4

f-i, z-hk) de la courbe à ce plan sera

mi H- nh

\]l% + m2 H- n1 et l'on pourra la mettre sous la forme

l(x'-\- ei) H- '«(r'+s2) +

y'Z2 H- to'2-)- «2

ffr.

Elle sera infiniment petite du second ordre si l'on assujettit les constantes /, m, n à la condition

Z.r' -r- my' -f- «3' = 0,

/X + fflY + //Z = o,

ou enfin

On peut écrire, aux infiniment petits près du second ordre, 1 3 ) / dx -+- mdy -+- n dz = o ,

ïi8