ABC

on aura alors

B/- — Ci= (Bs3 — Cej)A,

et de même pour les deux autres expressions analogues. Donc

quantité infiniment petite du quatrième ordre. Donc, pour la direction correspondante à des valeurs de A, B, G proportionnelles à x',j', z', la distance £ est infiniment petite du second ordre.

Réciproquement, pour que â2 soit infiniment petit d'ordre supérieur au second, il faut que les rapports -» -» - diffèrent entre

A xi L<

eux infiniment peu, et qu'il en soit, par suite, de même des rapports ■ -5 — - — -> — rr-% ce qui ne peut avoir lieu que si l'on

donne aux constantes A, B, G des valeurs proportionnelles aux quantités x', j' , z'.

Il existe donc une droite passant par le point M, et une seule, telle que sa distance à un point de la courbe infiniment voisin du point M est infiniment petite d'un ordre supérieur au premier. Gette droite, qui a pour équations

£ — X 'Ci — Y ? — 3

s'appelle la tangente à la courbe au point M (x, j ', z).

TANGENTES AUX COURBES NON PLANES. Il5

625. Les rapports des quantités x', y', z' étant les limites des rapports des différentielles dx, dy, dz, il s'ensuit de là que la droite (i) est la limite de la sécante

v ' dx dy dz

qui passe par le point (x, r, z) et par le point de la courbe infiniment voisin (x -f- dx, y -+- dy, z -+• dz). Ainsi la tangente en un point d'une courbe est la limite d'une sécante passant par ce point et par un autre point de la courbe infiniment voisin du premier.

Gomme d'habitude, nous emploierons aussi les équations (2) pour représenter la tangente, en les considérant comme des équations imparfaites, ou, ce qui revient au même, en y réduisant les différentielles dx, dy, dz à leurs parties principales.

626. Si l'on désigne par oc, |3, y les angles que fait la tangente avec les axes coordonnés, et par ds = Jdx--+- dy- -+- dz- la corde infiniment petite qui joint le point M.(x, y, z) au point infiniment voisin M' (x -h dx, y 4- dy, z -+- dz), on aura toujours, avec la même approximation indéfinie,

cosoc cos/3 cosy 1

dx dy dz ds

d'où

dx dy dz

COS a r=r zb — , COSB =r± —, COSV=zn— - •> ds ds ds

les signes -f- ou ■ — ■ devant se correspondre. En prenant les signes supérieurs, on aura celle des deux directions de la tangente qui indique dans quel sens le point M marche sur la courbe pour t. croissant.

627. Si les équations de la courbe sont données sous la forme

(3) F(*,jr,a) = o, f[x,j; z) = o,

les parties principales des différentielles satisfont aux équations

(4) F'(x)d.v + F'(y)dy-hF'(z)dz = o, f [.r)dx-+-f {y)dr -hf'{z)dz = o.

Dans ces équations, homogènes par rapport à dx, dy, dz, on peul substituer à ces dernières quantités les binômes qui leur sont pro-

TlG LIVRE III. — CHAP. II, | I.

portionnels en vertu des équations (2), et l'on a, pour les équations de la tangente sous forme finie,

Si l'on pose, pour abréger,

les équations (4) et (5) pourront s'écrire sous la forme

d.x dy dz

628. On appelle plan normal à une courbe en un point donné un plan mené en ce point perpendiculairement à la tangente à la courbe.

D'après les équations (2) de la tangente, l'équation du plan normal sera

( 9 ) ( ? — x)d.x ■+- (ïj — y) dy -+- (<Ç — z)dz = o,

ou, en mettant pour dx, dy, dz les quantités qui leur sont proportionnelles en vertu des équations (7),

L'équation (9) n'est autre chose que celle qui exprime que le plan normal est la limite du lieu des points équidistants du point (oc, y, z) et d'un autre point de la courbe infiniment voisin. On a, en effet, pour un point de ce lieu,

[(ç x dx)* + (vj - y - dyf -+- (Ç - z — dz)* ]

-[{$- xf + [Tl - yY + ^- zf] = o, c'esl-ù-dire

dX,y,M - X)2 + [V ~jf +(?- Z)2] = O,

ce qui donne l'équation (9), lorsqu'on néglige les infiniment petits du second ordre. Donc le plan normal est la limite d'un plan per-