La valeur de dz- peut encore se mettre sous la forme
ds* d~- z= (clxd)
dz d~ y d2 ;
dz d.r
d*z dK,
[dxd*x
dx dy d'-x d*j-
Les trois déterminants qui entrent dans cette valeur ne sont autre chose que les trois quantités /, m, ji, proportionnelles [633] aux cosinus des angles que le plan oscillateur fait avec les trois plans coordonnés. En désignant donc ces trois déterminants par /, m, 7i, et la somme de leurs carrés par A2, on a
ds'-d-.
660. Les cosinus des angles du plan oscillateur avec les plans
coordonnés, ou de l'axe du plan oscillateur avec les axes àesx,y, z,
seront, d'après cela,
Donc l'angle de deux plans oscillateurs infiniment voisins, que l'on appelle Y angle de torsion ou de seconde courbure de la courbe, aura pour valeur
-VMH'ïH-a
l42 LIVRE III. — CHAP. II, § III.
En développant cette expression, il vient
(krll—lcUf-ï-. . . I,HdP+...)- ■>. * dk[l< il + ...) -4-(/2 +... )d/,*
dv* =
là là
p(dr-+...)-ikdk.r.-dk-+-k\dP i
= — [dl2 -+- rZ/w2 -+- rf«? — die
là
= -[{dP + ..
'ZdZ
dm
n tin
n dn
dl
Or on a
t m dl dm
mdn — ndm = m[dxd3y — dytPx) ■ — n[dzdzx. — xd%z\ = dx{mdzy -j- nd3z) — [mdy -+- ndz)d3x.
D'ailleurs Idx -+- m dy~ + n dz = o ; donc
mdn — ndm z= dx ( ldàx -+- mdz y
tUp
ou, en posant A =
dx dy dz cPx d-y d-z di x d'Ay d3 z
m n dm dn
dx. A,
et de même pour les autres; donc
ds
ds* dx1
Si l'on appelle /' le rayon du cercle dont l'angle de contingence est dv pour une même longueur d'arc ds, et que l'on nomme cercle de seconde courbure de la courbe proposée, on a, pour déterminer le rayon de seconde courbure ou rayon de torsion, l'équation
du
ds
ds* d-*
En désignant par â la distance de deux tangentes consécutives, on a [631]
SPHÈRE OSCULATRICE. l43
d'où l'on tire, en mettant pour A sa valeur,
A = I 2 o . as1 d-, cfo = — — — 5 —
ofc d- r ds* d~
661. Considérons trois côtés consécutifs AB, BC, CD (fig. 6i) d'un polygone infinitésimal, ou trois éléments de la courbe qui est la limite de ce polygone, ces côtés étant de longueurs infiniment peu différentes entre elles. L'intersection de deux plans perpen-
diculaires sur les milieux de deux côtés consécutifs de ce polygone, ou l'intersection de deux plans normaux consécutifs à la courbe, est une perpendiculaire aH au plan oscillateur ABC. Cette perpendiculaire s'appelle Y axe de courbure de la courbe au point B.
Le centre de courbure est l'intersection a de l'axe de courbure avec le plan osculateur. Le rayon de courbure est p = Ea. L'angle de contingence dx est égal à l'angle EaF de deux normales consécutives, menées dans le plan osculateur en B, et dont l'une E« est la normale principale pour le point B.
Le plan normal en F contient deux axes de courbure consécutifs, qui se coupent au centre H de la sphère osculatrice, c'està-dire de la sphère qui passe par quatre points consécutifs de la courbe.
Les coordonnées du point H s'obtiendront en cherchant l'intersection de trois plans normaux consécutifs, c'est-à-dire en ré-
solvant les équations [556]
l (ç—x) d.r -(-(va — y) dy -+-('£ — z) dz — o, (i) (%-x)d*x+{v—y)d*y-+-[l-z)dH = ds\
\ [Z — x)d*x+ [v—y)d3y-h {Ç — z)d3z==3dsd\f,
dont les deux premières représentent l'axe de courbure. On en tire, en conservant les notations du numéro précédent, et remarquant que l'on a 3 u d\> — u du = — vk d — »
dss l ds* m dss n
En prenant la racine carrée de la somme des carrés de ces trois expressions, on a, pour le rayon R de la sphère osculatrice,
662. Si l'on mène Fa' parallèle à Fa, et qu'on appelle d<p l'angle bFa' de deux rayons de courbure consécutifs, l'angle trièdre infinitésimal, formé par Fa, Fa', Fb, rectangle suivant Fa, a pour faces de l'angle dièdre droit l'angle de contingence dx et l'angle de torsion dv, et l'on aura, par conséquent,
(2) df=d^+dv\
Donc, dans les courbes non planes, l'angle de deux rayons de courbure consécutifs est, en général, plus grand que l'angle de contingence.
Il ne serait égal à l'angle de contingence que dans le cas où l'angle de torsion d\> serait nul, ce qui exigerait [660] que l'on eût séparément
7 l jm j"
