Le quadrilatère FabU est inscriptible à un cercle ayant

pour diamètre le rayon FH = R de la sphère osculatrice. Donc ce

cercle est tangent au lieu des centres de courbure.

1 cire

L'angle inscrit dv — , — -. ; En désignant donc par da la

° le diamètre ° l

distance ah de deux centres de courbure consécutifs, on a

Le triangle rectangle abn donne

ab9z=: bn2 + a«9, ou

(4) d^ — df--±-fd^.

On peut donc écrire l'équation (3) sous la forme

Le triangle F«H étant rectangle, et Fa = p, on en conclut que la distance du centre de courbure au centre de la sphère osculatrice

a pour expression

do du

comme on le voit d'ailleurs, en considérant le triangle rectangle Hnb.

Les triangles semblables nab, FrtH donnent

(6) dp = do~cos(p, du) ■=. do-s'm{p, R).

L'angle [p, da) = [p, R) n'est nul que pour [p, R) = -, ce

qui donne R = go , dv = o (3), et alors la courbe sera nécessairement plane.

Si l'on mène bm perpendiculaire à FH, on voit facilement que bll et b¥ sont les deux bissectrices des angles mba, mbc.

661. Le lieu des axes de courbure est une surface développable, appelée surface polaire, qui a pour arête de rebrous sèment le lieu des centres de la sphère osculatrice.

H. — Cours de Calcul injin., II. to

L'angle de contingence de cette arête de rebroussement, ou l'angle de deux axes de courbure consécutifs, est égal à l'angle de torsion de la courbe proposée.

L'équation de la surface polaire s'obtient en éliminant x, y, z entre les deux premières équations ( i ) et les équations de la courbe. Si l'on y joint la troisième équation (i), on aura le lieu du centre de la sphère osculatrice.

Le lieu des centres de courbure est une courbe tracée sur la surface polaire. On aura ses équations, en éliminant x,y, z entre les deux premières équations (i), les équations de la courbe, et celle du plan osculateur.

665. Par un point A, pris sur la courbe, menons une normale quelconque, rencontrant l'axe de courbure a a. au. point a. Joignons a au point suivant A' de la courbe, et prolongeons A' a jusqu'à la rencontre en a' de l'axe de courbure a'a', correspondant au point A'. Joignons a! au point suivant A", et prolongeons k!'a' jusqu'à la rencontre en a." de l'axe de courbure a" a." ', correspondant au point A" (fîg. 62). En continuant ainsi, on formera, par

Fiff. 62.

les intersections successives des normales , un polygone infinitésimal, dont la limite sera une courbe enveloppe de ces normales, et qui jouira des diverses propriétés que nous avons démontrées [583, 584, 585] pour les développées des courbes planes. On donnera, pour cette raison, le nom de développées de la courbe quelconque A A' A". . . aux diverses courbes enveloppes des normales, que l'on peut former d'après ce qui précède. Toutes ces développées sont situées sur la surface polaire de la courbe proposée.

DÉVELOPPÉES DES COURBES NON PLANES. l47

Le point de départ a étant pris arbitrairement sur l'axe av., il s'ensuit de là que la courbe a une infinité de développées. Si la courbe est plane, la surface polaire est un cylindre, dont la section droite, intersection du cylindre avec le plan de la courbe, est une développée, qui coïncide avec le lieu des centres de courbure.

Si la courbe n'est pas plane, et que a soit le centre de courbure du point A, A a ne sera pas tangent au lieu des centres de courbure [663]. Donc ce lieu ne coupe chaque développée qu'une seule fois ou qu'un nombre limité de fois.

666. Si l'on fait tourner le plan normal Aaa. autour de aa, jusqu'à ce qu'il vienne s'appliquer sur le plan normal suivant, A'a'a'aoc, A décrira un arc de cercle autour du centre de courbure de la courbe en A, et viendra se placer en A', tandis que Aa décrira un cône droit autour de l'axe aa, pour venir s'appliquer sur A'a'. Donc l'angle Aaa — A'aa, et, par suite, lorsque le plan normal en A tourne autour de l'axe de courbure pour venir passer par A', la ligne A'aa', dans le développement de la surface polaire sur un plan, se trouve recouverte par Aa. Donc la développée devient une ligne droite. Ainsi toutes les développées sont des lignes géodésiques de la surface polaire, c'est-à-dire qu'elles jouissent de la propriété d'être les lignes les plus courtes que l'on puisse mener sur la surface entre deux de leurs points. Ce sont les courbes qu'affecterait un fil tendu sur la surface entre deux points donnés sur celle-ci.

De là un moyen mécanique pour décrire une courbe d'un mouvement continu, à l'aide d'un fil dont un point A est placé en un point donné de la courbe, tandis que les deux moitiés du fil sont tendues sur la surface polaire suivant deux développées différentes. En déroulant les deux branches du fil, le point A décrira la courbe.

Si on laissait le point A fixe, ainsi que son axe de courbure aa., et que l'on développât la surface polaire sur le plan Aaa, les deux développées viendraient se placer sur les prolongements des deux normales au point A, le fil restant toujours librement tendu. Donc si, au lieu de faire mouvoir la surface polaire, on fait mouvoir son plan tangent Aaa, les deux branches du fil formeront toujours un angle constant. Et réciproquement, une ligne située dans le plan tangent

l48 LIVRE III. — CHAP. II, § III.

mobile, et faisant avec a A un angle constant, sera constamment tangente à une seconde développée de la courbe A A' A" A'". . . .

Si la courbe donnée est, par exemple, une développante du cercle, toutes ses développées seront des hélices tracées sur le cylindre qui a pour base la développée plane, c'est-à-dire le cercle.

667. On a les équations différentielles des développées d'une courbe, en écrivant :

i° Que la tangente à la développée rencontre la courbe proposée, ce qui donne les équations

w; d\ do dÇ ;

2° Que cette tangente est située dans le plan normal à la courbe, ce qui donne

(8) (Ç — x)dx-£ .(«— y)dj + (Ç — z)dz = o.

De ces équations, il résulte que :

i° En remplaçant £ — x, rt — j, £ — z par les quantités qui leur sont proportionnelles, en vertu des équations (7), on a

( g ) d\ dx + do dy -+- dC,dz = o,

ce qui exprime, comme on devait s'y attendre, que la tangente à la développée est normale à la courbe.

2° En différentiant l'équation (8) et ayant égard à la condition (g), il vient

(io) (Ç — x)d*x + (vj — j)rf2j+(Ç — z)dH = ds\

Or l'ensemble des équations (8) et (io) représente la surface polaire [664]. Donc, comme nous l'avions déjà vu d'une autre manière [665], toutes les développées sont situées sur la surface polaire, ce qui fait déjà connaître, sous forme finie, une équation commune à toutes ces courbes.

3° En appelant do l'élément d'arc de la développée, et p la distance Aa des points [x, y, z) et (£, vj, £), les équations (i)

DÉVELOPPÉES DES COURBES NON PLANES. l49

donnent

l - -r. i, - y Ç - z __ y/(g - xf -+- (va — jf + (S -T^«

dl dri dC, ^d? -+•&>*+ d&

__, p (g — .r) r7g -+■ (n —y)dv + [r— z) d? ~ da ~ d^-h de? + dZ?

Or, en vertu de l'équation (8), le numérateur de la dernière fraction est égal à pdp; donc

±P- = P4 d'où A=±«fe,

propriété analogue à celle que nous avons démontrée [577] pour les développées planes des courbes planes.

4° Pour obtenir l'équation générale des projections des développées sur le plan des xj, par exemple, on tirera des équations (8) et (jo) les valeurs de £ et de la variable indépendante t en fonction de \ et de m, ce qui donnera aussi, au moyen des équations de la courbe, les valeurs de x et de y en \ et r\. En substituant ces valeurs dans l'équation

dl ~~ do '

on aura une équation différentielle du premier ordre entre £, yj, — •> dont l'intégration donnera une équation finie entre £, y; et une

fit ç

constante arbitraire. Cette relation, jointe à l'équation de la surface polaire, représentera toutes les développées de la courbe proposée.

§ iv.