DES SYSTEMES D^ÉQUÀTIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES EN GÉNÉRAL

932. Étant données n équations finies entre n-hi variables et n constantes arbitraires, si, entre ces n équations et les n autres équations qui résultent de leur difTérentiation immédiate, on élimine les n constantes arbitraires, on obtiendra n relations entre les 71 H- I variables et les n dérivées de n quelconques d^entre elles, prises par rapport à la (/i + i )'*''"*', que l'on considère comme la variable indépendante.

Ces n équations di (Té renti elles simultanées seront équivalentes aux équations primitives proposées. En elTet, les équations proposées peuvent être supposées résolues par rapport aux ii cofi-

H, — Cours de Cale, iufn., III. I

stantes, et mises sous la forme

En diflférentiant ces dernières relations, on obtient les équations

r/U, =: o, r/Uj = o, . . . , r/U„ =r o,

équivalentes, d*une part, aux équations différentielles qui résultent de l'élimination de C|, Co, . • . , C„, et^ d'autre part, aux équations proposées, qu'on en déduit immédiatement par l'intégration.

Il faut toutefois faire ici des réserves analogues à celles que nous avons faites pour les équations à deux variables, relativement aux facteurs étrangers et aux solutions singulières proprement dites.

933. Si les n équations proposées renfermaient plus de n constantes, soit n-^k, il faudrait alors, pour pouvoir faire l'élimination de. toutes ces constantes, différentier plus d'une fois une ou plusieurs des équations, de manière que le nombre total des différentiations effectuées fût égal au nombre n+k des constantes. Il en résulterait ainsi 2 w -h A' équations, entre lesquelles on éliminerait les n-i-k constantes, et l'on obtiendrait par là n équations simultanées, dont quelques-unes au moins seraient d'un ordre supérieur au premier par rapport à certaines variables.

On voit que des mêmes équations finies on peut tirer plusieurs systèmes équivalents d'équations différentielles. Cbacun des systèmes ainsi obtenus sera dit un système d'ordre n-i- k, parce qu'il équivaut à un système d'équations finies renfermant w -f- A' constantes arbitraires.

934. Réciproquement, étant donné un système d'équations différentielles simultanées, ce système correspondra à un certain système d'équations intégrales. On peut le faire voir soit en montrant qu'un système d'équations différentielles simultanées peut se ramener à une seule équation différentielle combinée avec des équations finies, soit en ramenant ce même système à un système d'équations différentielles simultanées du premier ordre.

Soient, par exemple, les deux équations

entre les variables t, x^y et les dérivées des divers ordres dex et dej^ par rapport à î, pris comme variable indépendante. En différentiant la première de ces équations v fois, la seconde n fois, on obtiendra en tout /i + v -f- 2 équations, entre lesquelles on pourra éliminer j" et ses /z-f-v premières dérivées. Il en résultera une équation différentielle entre x et f, dont l'ordre M sera égal au plus grand des deux nombres /m + v, /i -H ]Lt. De cette équation on tirera, par l'intégration, x exprimé en fonction de « et de M constantes arbitraires, et, en éliminant, entre cette équation intégrale et les « -h V -f- I autres équations, x et les ti -h v dérivées de j^, il restera une relation entre ^, t et les mêmes M constantes arbitraires.

L'ordre de l'équation finale et par suite aussi le nombre des constantes arbitraires qui entrent dans les équations intégrales peuvent s'abaisser lorsque, pour l'élimination de j^ et de ses dérivées, on n'a pas besoin de différentier les équations un aussi grand nombre de fois et d'employer toutes les /z r-f- v -h 2 équations précédentes.

Généralement, étant données h équations différentielles simultanées entre A: -4- i variables, on éliminera d'abord une des variables dépendantes entre les h équations, prises deux à deux, ce qui ramènera à un système de A' — i équations entre h variables. On ramènera de même ce système à un système de h — 2 équations entre A* — i variables, et ainsi de suite.

933. On peut, au contraire, en introduisant de nouvelles variables, ramener tout système d'équations différentielles simultanées d'ordre quelconque à un système d'équations différentielles simultanées du premier ordre.

Soit, par exemple, l'équation unique du troisième ordre

on pourra la remplacer par les trois équations du premier ordre De même, si dans les équations (i) du numéro précédent on

4 LIVBE IV. — CHAP. V, § I.

suppose

c'est-à-dire si chacune des équations proposées contient la plub haute dérivée de quelqu'une des variables, savoir, ici, la première équation la^ plus haute dérivée de x^ la seconde équation la plus haute dérivée de y, alors on pourra remplacer ces équations par les m H- V équations du premier ordre

dt- ' dt -^ * •••' dt ""

dy , dy „ d)(^-^)

di -^ ' dt -^ ' •••' r/r --^^ '

r, X, . . . , Hs*), j-, . . . , jf*-^>, -^ — j = <^-

Ainsi, le cas des équations simultanées du premier ordre embrasse le cas le plus général des ' équations difTérentielles à une seule variable indépendante.

Le nombre des équations du premier ordre, telles qu'on puisse les résoudre par rapport à un pareil nombre de dérivées des diverses variables dépendantes, est égal au nombre des constantes arbitraires du système des intégrales, ou à l'ordre de Téquation* différentielle unique à laquelle le système est réductible. Ce nombre s'appelle Vordre du système.

936. Pour que les équations différentielles du premier ordre soient résolubles par rapport à toutes les dérivées, il faut et il suffit que chacune des équations d'ordre quelconque du système proposé renferme la plus haute dérivée de quelqu'une des variables dépendantes, et que, si elle renferme plusieurs de ces plus hautes dérivées, celles-ci ne se trouvent pas engagées sous une môme fonction dans toutes celles des équations qui les renferment.

Si cette condition n'est pas remplie, l'introduction de nouvelles variables changera quelques-unes des équations et même quelques-unes de leurs différentielles en équations finies, et à l'aide de celles-ci on pourra éliminer algébriquement quelques-unes des variables auxiliaires, ce qui diminuera le nombre des équations

différentielles du premier ordre et abaissera ainsi Tordre du système.

Supposons, par exemple, que, dans les équations (i), on ait

En diffiérentiant deux fois la seconde équation

fie d^x fly d^y -d^y

f^'^-'^di'-dF'^^liV dt*

d^y d^y on en tirera deux équations qui contiendront —rry -r^> et qui

^ ^ dc^ dt^ ^

feront connaître ces deux dérivées, exprimées au moyen de

d'^x dy d^y d^y

En substituant ces expressions dans l'équation J'=s o , celle-ci prendra la forme

Si Ton pose maintenant

fU ___ d.r __ ^ flx __ ^ d.i^ __ ^^ d.r'" ___ ^ d.r'' __

dt ' dt ' dt ' dt ' r// ' dt

dy , dy „

le système se réduira à ces huit équations, jointes aux deux suivantes :

et Ton aura ainsi dix équations du premier ordre, d'où Ton pourra tirer les expressions des dérivées par rapport à t des dix variables dépendantes jc, j:', . . ., x^^^y^y' ^y ". L'ordre du système est donc égal à lo, c'est-à-dire au plus grand des deux nombres m -h y, n + U.J comme on l'aurait trouvé par la méthode du n^ 934.

937. Puisque le cas des équations différentielles simultanées du premier ordre comprend le cas le plus général d'un système d'équa-

lions difTérentielles à une seule variable indépendante, occuponsnous plus particulièrement de ces équations.

Supposons, par exemple, que Ton donne deux équations entre

les quantités

(îy (h

fijc d.r

et que ces équations soient telles que Ton puisse en tirer les valeurs de chacune des deux dérivées -^j -r-» en fonction de x, r, z,

dx dx

Si Ton représente ces deux valeurs par ^ ' y ' chacune des quan-

tités X, Y, Z étant généralement une fonction de x, y^ z^ on pourra mettre alors les équations proposées sous la forme

r/,r dy dz

En appliquant à ces équations les mêmes considérations qu'au n** 790, on verra facilement qu'elles peuvent servir à construire, sur les plans des xy et des xz, deux polygones infinitésimaux, qui auront pour limites deux courbes planes, passant chacune par un point arbitraire de son plan. Soient j^o^^o les valeurs arbitraires dej^, z, correspondantes à la valeur donnée x© de x. Par chacun des points (xo,jKo)> (xq, ^o)? on mènera des droites ayant pour coefficients angulaires respectifs les quantités

Soient j^i, Z| les ordonnées des points de ces droites qui correspondent à l'abscisse Xi =XoH-rfxo. En substituant les valeurs X|, j)'i , Z| dans X, Y, Z, on aura de nouveaux coefficients angulaires

\dx)i X/ \dxji Xj

qui détermineront de nouvelles droites passant par les points {^itj'{)y {^i9 ^t)' En continuant ainsi, on obtiendra deux polygones infinitésimaux, qui auront pour limites deux courbes dont les ordonnées y et z satisferont aux équations différentielles données, et dont les équations renfermeront deux constantes arbi-

traîresj^'oi -^o? que Ton pourra remplacer par deux autres constantes arbitraires , liées avec celles-là d'une manière quelconque.

On peut considérer les points (x^y), {x^ z) des deux plans des xy et des xz comme les projections d'un même point (x^y, z) de l'espace, et alors les deux courbes en question seront les projections d'une même courbe à double courbure, qui sera complètement déterminée par les équations différentielles dès que l'on connaîtra un point de l'espace par lequel elle doive passer, ou deux autres conditions quelconques équivalentes à celle-là. On verrait, comme dans le cas d'une seule équation entre deux variables, que toute courbe dont les équations contiennent deux constantes arbitraires distinctes, et qui satisfait à l'ensemble des deux équations différentielles, quelles que soient les valeurs de ces constantes, ne peut que coïncider avec celle que nous avons déterminée, dès que l'on choisit les constantes de telle manière que, pour x^Xq^ on ait jr=jf,^ z = zq.

On reconnaît ainsi qu'un système de deux équations renfermant deux constantes arbitraires, et satisfaisant aux équations différentielles, quelles que soient les valeurs de ces constantes, représente le système des intégrales générales de ces équations différentielles, lorsque, pour une valeur quelconque a: = a:o, on peut, en disposant des constantes, faire prendre à / et à ^ des valeurs arbitraires quelconques, ou, ce qui revient au même, lorsqu'on peut faire passer par un point arbitraire de l'espace la courbe représentée par ces équations.

938. De même, étant donné un nombre quelconque n d'équations différentielles du premier ordre entre les « 4- i variables f , x, j, c, . . . , si l'on peut résoudre ces équations par rapport à chacun des rapports différentiels

dx dy dz dt dt dt

on pourra, au moyen des n équations, mises sous la forme . dt dx dy

construire des courbes représentant chacune des fonctions incon-

8 LIVRE IV. — CÏIAP. V, § I.

nues x^y, ... de la variable t^ et passant par des points arbitraires du plan. Les équations de ces n courbes dépendent des n valeurs arbitraires que prennent les n inconnues x^j^ .,. pour une valeur donnée < = /© de la variable indépendante, c'est-à-dire qu'elles renferment un nombre n de constantes arbitraires égal au nombre des fonctions inconnues ou à celui des équations.

939. Ce que nous venons de dire suppose essentiellement que les n équations données soient- résolubles par rapport aux n dérivées des n variables prises relativement à la (wH- i)''^"'^, c'està-dire qu'on puisse mettre ces équations sous la forme (i). Alors l'ordre du système est égal au nombre n des équations. S'il n'en était pas ainsi, l'ordre du système serait moindre que n.

Supposons, par exemple, dans le cas de deux équations enti^e

trois variables, que les dérivées — -» -j- n'entrent dans ces équations que renfermées dans une même fonction

En éliminant cette fonction (f entre les deux équations, il restera une équation finie entre /, a:, 7', dont la différentiation fera con-

naître -^ en fonction de «, x^ r, --• Si l'on substitue cette valeur dt ^ dt

dans Tune des équations proposées, le système donné se trouvera remplacé par deux équations de la forme

Si l'on élimine maintenant y entre ces dernières, on aura une équation différentielle entre f , x, -— » d'où l'on tirera x en fonction de t

dt

et d'une constante arbitraire C. Par suite, l'équation finie y= o donnera j^ en fonction de t et de la même constante. Le système donné ne sera donc que du premier ordre.

, , , dy

Exemple, — En éliminant ~- entre les équations

€l.r dr dr dr

dt dt dt dt

EQUATIONS DIFFERENTIELLES SIMULTANÉES. c>

-T- disparaît en même temps, et il vient

Si Ton substitue pour dx sa valeur 4^dt dans la première équation, celle-ci devient

-\ 4- 5/ — o. d où j == C - - f«. fie ^ 1

Les équations intégrales ne contiennent donc qu'une seule constante arbitraire, parce que -7- et -^ n'entraient dans les équations

différentielles que par la fonction -— -+- -^.

* ^ dt dt

940. Oq peut, au moyen des équations différentielles, mises sous la forme

/ , tlx ^ , dv ^

obtenir le développement des fonctions inconnues x^y^ ... en séries ordonnées suivant les puissances de Taccroissemcnt t — i^ de la variable indépendante. En effet, par des différentiations et des éliminations successives, on tirera, comme aux n°* 792 et 800, des équations (2) les valeurs de toutes les dérivées d'ordres supérieurs

d^T. d^.r d^r ePy

dt' dt' dt^ dt^

exprimées au moyen des variables /, x^ y, ....

Cela posé, soient .ro,,Toj • • • les valeurs arbitraires de x, j, . . . pour t = (q. Des équations (2) et de celles que nous venons d'en déduire on tirera les valeurs des dérivées

f/x d*.r dr d^Y

iU dt' ' dt dt^

en fonction de t^ et des constantes arbitraires Xo, j"o> • • • •• et l'on

lO LIVBE IV. — CIIAP. V, § I.

aura ainsi les valeurs des coefficients des développements

— - I * -TT I » . . . étant les valeurs de -r-> — rr-> . . . pour t = f©-

Remarque, — Il semble , au premier abord, que ces valeurs des n inconnues a:, ^, . . . renferment n + i constantes arbitraires, en y comprenant ^o« Mais on observera, comme nous l'avons déjà fait dans un cas analogue [808], que, les deux systèmes de valeurs t, x, r, ... et tQ, Xq, j^Qf . . . devant entrer symétriquement dans les équations intégrales, il en résulte que ces équations sont d'une forme particulière, en vertu de laquelle les n + i constantes équivalent seulement à n arbitraires distinctes.

PHOPRIÉTÉS GÉfTÉRALES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES