SIMULTANÉES LINÉAIRES
941 . On appelle équations différentielles linéaires celles dans
dî
dx lesquelles les fonctions inconnues x^y^ ... et leurs dérivées — >
dy d X
3"' • • • > -Tj-' ' ' • P*'' rapport à la variable indépendante t n'entrent
qu'au premier degré et sans être multipliées entre elles . Nous allons étudier les propriétés générales des équations difTérentielles linéaires, lesquelles sont une extension des propriétés établies dans les Chapitres précédents, pour le cas d'une seule équation différentielle linéaire.
Si nous désignons par 9< » x< » • • • > ^a» X^» • • • ^^^ fonctions rationnelles et entières, dont les coefficients soient ou des constantes ou des fonctions quelconques de la seule variable indépendante f , et si Xy y^ ... sont des fonctions inconnues de t en même nombre que les équations données, le type général d'un système d'équations
EQUATIONS SIMULTANEES LINEAIRES. II
diOerentielles linéaires sera
(i) { ?,(I>^)-'--f-Xî(I>/)j-+----=T„ •
T|, Tj, étant des fonctions données de t.
D'après ce que nous avons vu dans le paragraphe précédent, on peut toujours supposer que les équations proposées aient été transformées de telle manière qu'elles soient résolubles par rapport aux plus hautes dérivées de toutes les fonctions inconnues qui \ entrent. Dans ce cas, chacune des équations contiendra la plus haute dérivée de Tune des fonctions inconnues.
Ainsi, si Ton désigne par
*i» ^ij • • •> *î» 'Wj, . . .
les degrés respectifs des fonctions
?i» Xi» • • •» ?2' Xîi • • •« on pourra supposer que Ton ait
(2) ^i='«» ^3» •••; ^t^'^it f^h- •••i ^tc. Alors l'ordre du système (i) sera
Par des éliminations, on pourra toujours faire en sorte que le cas d'égalité soit exclu des conditions (a), qui deviendront ainsi
(3) A>^»>^j»«-«; /Wj>/Wi, /W3, . . .; etc.
942. On peut, si l'on veut, se contenter de considérer le cas des équations linéaires du premier ordre, auquel on peut ramener le cas général par l'introduction d'inconnues auxiliaires représentant les dérivées des inconnues d'ordres inférieurs aux plus élevés.
Si l'on a préparé les équations proposées (i) de manière que chacune des plus hautes dérivées n'entre que dans une seule équation, les conditions (3) ayant lieu, alors, quand les équations seront ramenées au premier ordre, chacune d'elles contiendra une dérivée, et une seule, de sorte qu'on pourra toujours réduire un système
donné à la forme
Dans le cas où les seconds membres T|, T2, . . . seront nuls, on aura un système à^ équations sans seconds membres ou d'équations homogènes
(5) j ^,;D,).rH-/^,(D,).r-4- . . r--. o,
ou, sî les équations sont rnmcnées au premier ordre,
/ (<7, -4- a\ Df ] .V -h />i j -h ... — o, ;6] < rt^.r-h (^24- //jDf) r-f-. . .~0,
Nous verrons qu'il est toujours possible de ramener l'intégration d'un système d'équations complètes (i) ou (4) à celle d'un système d'équations sans seconds membres (5) ou (6).
913. Les équations linéaires simultanées sans seconds membres jouissent de propriétés analogues à celles que nous avons établies dans le Chapitre IV pour le cas d'une seule équation linéaire d'ordre quelconque sans second membre, laquelle est comprise [935] dans le cas plus général des équations (5) ou (6).
I. Si x^,ri , . . . représente un système d'intégrales particulières des équations (5) ou (6), c'est-à-dire un système de fonctions de f. qui, substituées k x, y, ... respectivement dans les équations (2), rendent celles-ci identiques, on obtiendra un autre système d'intégrales CjTo Cj'i, ... des mêmes équations (5) ou (6) en multipliant les intégrales données par une même constante arbitraire C.
II. Si l'on a plusieurs systèmes (^i,j)o ...), (•X'-i, j 2» •••)> ••• d'intégrales particulières des équations (5) ou (6), le système de valeurs
J*l -f- .rj -h . . , , ^'1 -h J"ï "♦"••• 1 • • • »
formé par addition au moyen des systèmes donnés, sera encore un système d'intégrales des mêmes équations.
ÉQUATIONS SIMULTANÉES LINÉAIRES. l3
III. De la combinaison de ces deux théorèmes il s'ensuit que, si Ton désigne par (xo ji, ...), (xa^^a? ••.)» ••• ^®s systèmes quelconques d'intégrales particulières des équations (5) ou (6) et par C| , C29 • • • des constantes arbitraires, le système de valeurs
Cl ^Tj -4- C, .r j -h . . . , C, jj-f- C|^,-t- . . ., etc.
sera encore un système d'intégrales des équations (5) ou (6). 944. IV. Soient
n systèmes d'intégrales particulières des n équations (6), et supposons que ces n systèmes soient distincts, c'est-à-dire que les
équations
•ï* ^^ C| .r| -}- Cj .Tj -f- . . . ,
puissent être résolues, pour toute valeur de ty par rapport aux inconnues Ci, C2y •• • Il faut et il suffît, pour cela, que le déterminant
•^j Xt
ne s*annule pas^ quel que soit t. Dans ce cas, les équations (7) représenteront le système des intégrales générales des équations (6) ; car on pourra alors disposer des constantes C|,C2, ... de telle manière que les fonctions x,^, ... prennent, pour la valeur donnée à volonté t = to9 des valeurs arbitraires Xo,^"o> • • ••
Dans le cas du système des équations (5) d'ordre N, si l'on donne n équations (7), renfermant N systèmes d'intégrales particulières
et par suite N constantes arbitraires C|, • . • , C^, les équations (7) seront les intégrales générales des équations (5), si l'on peut résoudre par rapport aux constantes C|, . • ., Q^ le système formé par les équations {7), jointes aux It — 1 premières dérivées de la
Jl
l4 LIVRE IV. — CHAP. V, § II.
première de ces équations , aux mn — i premières dérivées de la seconde, etc., c'est-à-dire si le déterminant
n'est pas nul.
S'il existait, entre les intégrales des systèmes donnés, 7i(ouN) relations linéaires à coefficients constants, de la forme
a^Xi -\- a^x^ 4- . . . =: o,
le déterminant (8) ou (9) s'évanouirait [879], et, les équations (7) (ou ces mêmes équations jointes à leurs dérivées des ordres /j — i, nii — !>...) n'étant plus résolubles , les systèmes d'intégrales donnés ne seraient plus distincts. On voit d'ailleurs, comme au n® 879, que, le nombre des constantes arbitraires se réduisant d'une unité, il n'en resterait plus assez pour que les équations (7) représentassent les intégrales générales des équations (5) ou (6).
94S. V. Si l'on connaît un système (jrj,jj, Z|, . . .) d'intégrales particulières des équations (5), on pourra ramener l'intégration de ces équations à celle d'un système d'équations de même nature, mais dont Tordre sera moindre d'une unité.
Considérons d'abord, pour plus de simplicité, le cas particulier des équations (6), et posons
I, y, }, , , . étant de nouvelles fonctions inconnues. En substituant ces valeurs dans les équations (6), celles-ci deviennent
o = ?[(«! -ha\I>f)jri-\-biji -^c^Zi -h .. .]
ÉQUATIONS SIMULTANÉES LINÉAIRES. \j
Dans chacune de ces équations, les termes multipliés par t s'évanouissent, puisque les valeurs X|, ji, ... forment un système d'intég;rales particulières des équations (6). Ces équations se réduisent donc aux suivantes :
o = ^;n I>r(' -+-?) 4- (^jTi -H ô',Do-i) V -+- c^Zi) -h .... o = c'^ Zi Df (r-+-0 -H^'aVjp-f- (<^3-t-f-^"3l>/-i)?H- ...,
En éliminant D^ r entre la première de ces équations et chacune des autres, f disparaît, et il ne reste plus que n — i équations pour déterminer les n — i inconnues j», ?,.... Ces n — i équations
;io) \ bîy-H(.^îH-f'iI>r)?-f- ... =o.
où b|, b',,C|, . . .ybo, ... désignent des fonctions connues de /, sont de même forme que les équations (6).
Lorsqu'on aura déterminé y, j, ... au moyen de ces équations, si Ton pose, pour abréger.
Xz=— .^^iZlZ."^^'^'' -I- . ..
il viendra
;il) t=:C,-hfXdt,
d'où l'on tirera, pour les inconnues a', j , 3, . . . , les valeurs
Si Ton connaît un second système (0:2,5^2? ^2> • • •) d'intégrales particulières des équations (6), on en tirera une valeur particulière de r.
l6 LIVRE IV. — CHAP. V, § II.
d'où résulte un système d'intégrales particulières des équations (lo)
On pourra alors abaisser l'ordre du système (lo) encore d'une unité, en posant
et l'on obtiendra pourp, j, . . . des valeurs de forme analogue aux valeurs (12).
(i3) ] ,=C,),-Hj, (^+/Yr//),
En substituant ces valeurs dans l'expression de X, cette expression deviendra
X^ étant la valeur particulière que prend X, lorsqu'on y remplace y, ^, . • . par }>o ^ly • • • y et y étant une expression dépendante des quantités z. . . . La valeur de jc deviendra alors
ou en remarquant que t^fXxdt est une valeur particulière de f, el par suite XxfX\ dl une valeur particulière x^ de x,
.i; = Ci JTj -4- Cj.rj -h x^fy dt.
On trouverait de même, pour les autres inconnues, des valeurs de la forme
0^2, 7 2» -2> • • • formant un système de valeurs particulières de x,j\ Zf ... ; et ainsi de suite.
On voit donc que, s'il existe pour chaque système d'équatic^ns (()), (10), ... un système d'intégrales particulières [xt^jiy .• .), (yi , ^1 , . . . )y . . . , différentes toutes de zéro, on pourra abaisser, au moyen de ces systèmes, l'ordre du système d'équations (6), jus« qu'à ce que l'on arrive à son intégration complète, et le système des équations intégrales sera alors de la forme (7).
