C;. ?/<?'•.' = o, 2 Cir.ie'i' — o, ICi Ine^-i^ = — T

ou, en posant Q e''/ = Ui,

2Ç/W|=rO, 2i;////— o, 2 /•/?,«/ =

Le déterminant de ces équations est

•'îl

''ill

'3 -sa

lr, Q — ir.

et, à cause de

ce déterminant devient

— 10 [r\ (/j — /-j ) -f- r; (7-3 — /'i ) -+- rj (rj — r, )] — — 10 [rj (/', — 73) — ri (75 — 7-3) (/-j + 7 3) -4- 7-, 73 (7-,~ r,) ] ,

OU enfin, à cause de /'i = 2, /^ — /'a =^ 2^/3, /'a-f-^'s = 8, rj/'3 = i3,

déterminant ==: — 20 ^.

Les déterminants mineurs proportionnels aux inconnues onl pour valeurs

et les valeurs. des inconnues sont

Etc.

935. m. Méthode de Cauchj* — Supposons toujours que l'on ait trouvé les intégrales générales x^^^,j^^^y . . . des équations

dont on aurait annulé les seconds membres. Nous allons obtenir, au moyen de ces intégrales, un système d'intégrales particulières X, Y, . . • des équations complètes, et l'on aura alors les intégrales générales de ces dernières équations par la règle du n^ 948.

Pour cela, déterminons d'abord les constantes C(, C29 • . . , qui entrent dans les expressions

.r(o) = Cl JTi -h Cj X, 4- . . . ,

de manière que, en donnant à £ la valeur indéterminée a, et désignant par x^•^^^•^ . . ., T*^, T*', ... ce que deviennent les fonctions x^^\j^^\ . . ., T|, Tf, . . . pour « = a, on ait

T{«- vC«) T(«)

Si Ton désigne par x^j^ o> • . • ce que deviennent x^^\j^^\ . . . lorsqu'on attribue aux constantes arbitraires les valeurs ainsi déterminées en fonction de a, je dis que les quantités

X = I xo r/a, Y = I Yq (Icty . . . ,

où ^0 représente une constante absolue quelconque, formeront un système d'intégrales particulières des équations (4).

En effet, si l'on différentie ces équations par rapport à f, les quantités jco, Jq, . . . prenant, pour a = î, les valeurs T|, T2, . . . , il viendra [470]

Substituant ces valeurs et celles de X, Y, . . . dans une quelconque

H. — Court de Cale, infinit., III. 3

des équations (i), dans la première, par exemple, le premier membre devient

quantité nulle, puisque Xo, ja, ... forment un système d'intégrales particulières des équations sans seconds membres. Donc les valeurs ci-dessus de X, Y, . . . forment un système d'intégrales particulières des équations (i ).

Exemple. — Soient proposées les deux équations

, (loi fîy

Les intégrales des équations sans seconds membres con^espondantes sont

en posant

.r, =z c'x S .Tj = I?'-.', /., — 4 __ /, ,.j r=z — 4 + /\

Il faut faire maintenant £ = a et résoudre par rapport à C|, C^ les équations x^^^ = T'**, j ^«^ = T*', qui ne sont autre chose que ce que deviennent les équations diflerentielles proposées lorsqu'on y

remplace — par a:^*^ — par r^*^ oc eiy par zéro, et t par a. On a

donc ici les équations

d'où l'on tire, en mettant pour o:^"^, j ^*^ leurs expressions, puis résolvant par rapport à Ci et à Ca,

Subsli tuant ces valeurs dans les expressions de x^^^ et de j^^**^, înté-

grant par rapport à a, puis faisant a=tf il vient, toutes réductions

faites,

ib 17 10 17

valeurs que Ton aurait obtenues plus promptement par la méthode particulière du n®951. On aura donc enfîn, pour les intégrales générales des équations proposées,

x = C<?"cos/H-C'c*'sinrH — !r<?' — §,

r = — Ce*' (cost H- sin/ ] 4- Ce^^ icost — sinr] ^ c* H

956. IV. Méthode ded'Alembert. — Supposons les équations dlfTérentielles linéaires mises sous la forme d'équations du premier ordre et, pour plus de simplicité, résolues par rapport aux dérivées des inconnues. Elles seront alors de la forme

(«1 -l-D/).r H- byX 4-0 3 4-.. .==ïi,

a^x -f- ( /^t 4- D, ) j 4- t-4 3 4- . . . = Tj,

Multiplions ces équations respectivement par i, À, p, . . ., en désignant par ?., fJt; • • • des indéterminées, et ajoutons-les. Il viendra

D|.r 4- > D/ j 4- tA n^z 4- . . .

en faisant, pour abréger,

T=: Ti 4- /Tj 4- liT^ 4-

Si Ton pose maintenant

(3) tf =.r 4- V 4- y.= -h . . . ,

d*où

f/Lr 4- Id/-^ itilz-^. . .=:zdu — xfD.—yd^ — . . .,

réquatioD (2) deviendra

{D^u — jD^X — sD/tt — ..,) 4- (^i "4-«tX-hflr,u-f-...) (1/ — Ijr — tiz — ...)

-+- (^i -f-fîX-hCj|x -H-..) 2-+-... = T.

Les variables j^, z, . , . n^entrant plus dans celte équation parleurs dérivées, on pourra profiter de Tindétermination de X, p, ... pour faire disparaître j)s z, ... de cette équation, en posant

(4) I D^a-l- (rti-h^,A-+-flr3a 4- ..) a = c, -+- r,À + C3 u -+-... , ( ♦

et inéquation précédente deviendra

équation linéaire du premier ordre, que Ton saura intégrer dès que Ton connaîtra un système de valeurs des quantités 2, /^, ....

A chaque système de valeurs particulières ^4, /X|, ... de ces quantités correspondra une valeur iX| de u, et l'équation (3) donnera une relation finie entre x,j , z, . . ., qui permettra d'abaisser d'une unité l'ordre du système (i). Si l'on a n systèmes distincts de valeurs de a, |[z, . . ., les n équations que fournira la formule (3 ) seront les intégrales générales des équations (i).

957. Si les équations (i) sont à coefficients constants, les équations (4) admettront des systèmes de valeurs constantes pour }., p., .... En posant

flr, -+-rt,À -4- flrjtA -4-.. ,= ^—^

r, -f- Tj > -4- r^ u -H . . .

les équations (4) deviendront

EQUATIONS LINÉAIRES COUPLÈTES

(l*où Ton tire 9 pour déterminer r, Téquatioa

dVi dK dK

L^équatlon ( 4 ) prend alors la forme

doù

Dt«-+- /•« =:T,

i£ = tf~'''(C-+-/^''Tr/f) (»).

US8. Considérons, en particulier, le cas de deux équations à deux inconnues

1 fl,.r-h(6,-HD^)v = T,.

La première équation (4) deviendra, dans la supposition de DrÀ = o,

Si cette équation admet une racine constante, cette racine sera une intégrale particulière de Téquation

Bt'k -f- {a^-\'a^\]\z= b -+- ^j).,

et Ton s*en servira pour abaisser Tordre du système (8).

Si Téquation (9) admet deux racines constantes, elle sera alors de la forme

ii,(X«-ha).H-j3)=:0,

(*) r pourrait être Tariable en même temps que «i, a,, . . ., pourvu que les Taleurt de i, /t, . . • fassent constantes. Dans ce cas, on écrirait frdetm. lieu de rt.

aet|3 étantdes coeflficients constants, et ces deux racines constantes, étant des intégrales particulières de(io), donneront deux équations (5), et par suite deux équations (3),

d'où Ton tirera a: et j^ en t.

Remarquons que, dans ce cas, on peut intégrer complètement Téquation (5), qui peut s'écrire sous la forme

(12) rt^//^.- J 0=0.

^ ' A- -f- aA -f- J3

Si, en particulier, les deux racines constantes de l'équation (9) ou (il) sont égales, alors cette équation ne fournira plus qu'une seule intégrale particulière X| de l'équation (10); mais alors on prendra l'intégrale générale de l'équation (12), qui devient alors

et d'où l'on tire

Cette intégrale donne X = l^ pour C = 00 . En attribuant à G une autre valeur quelconque, on aura une seconde intégrale particulière X, de l'équation (12), distincte de X|.