INVERSION DE L ARC-TANGENTE. I
De plus, rargument du dénominateur i + ^^ a pour tangente
tang2/>
/** ces 2/>
et la valeur de cette tangente augmente continuellement avec r. Donc la courbe u est constamment concave vers rax.e des x.
Pour r = I, l'intégrale, dont nous avons donné la valeur générale au n? 373, a pour valeur
4 + |iogY
smp
sm/;
La partie imaginaire de cette valeur devient infiniment grande
pour/; infiniment voisin de -» d'où Ton conclut que la courbe u
s'approche indéfiniment de ses tangentes et s'éloigne à l'infini de l'axe des x.
On verrait, comme au n° 1273, que les courbes u ne se rencontrent pas et qu'elles varient d'une manière continue en même temps que p. Donc elles passent par tous les états intermédiaires, depuis la base commune des triangles isoscèles, qui correspond k p = o, jusqu'à une courbe s'élevant à l'infini et se confondant, à distance finie, avec l'axe desj^ et une parallèle à cet axe menée à la
distance -• Donc les courbes u correspondantes aux chemins rec-
lilignes compris dans le premier quadrant remplissent complète^ ment et une seule fois la portion de la bande de largeur tt comprise dans ce quadrant.
On trouverait de la même manière que les courbes u correspondantes aux chemins rectilignes compris dans les trois autres quadrants remplissent aussi complètement et une seule fois les trois autres parties de la bande en question. On le reconnaît immédiatement par la symétrie des valeurs obtenues.
Donc z est une fonction de u synectique dans toute l'étendue du plan. De plus, cette fonction est périodique, et sa période est égale à 71. En désignant cette fonction par tangzi, par analogie a.vec le cas de u réel, on aura, quel que soit l'entier A,
tangtt = tiing(a -h /ît).
H — Coitrs de Cale, in finit., IV. 9
l3o LIVBE VI. — CHAP. III, § IV.
En combinant les résultats précédents avec le théorème d'addition [827, II], on en déduirait aisément toutes les propriétés de
la fonction tangz.
1276. III. Nous avons vu [1261] que l'intégrale
Jo %/l — 2*
a pour période 2?: et que dans chaque bande verticale de largeur 271 se trouvent deux valeurs de cette intégrale, correspondantes à la même valeur de z. Étudions la marche de l'intégrale suivant les divers chemins reclilignes de z partant de l'origine, et examinons d'abord les valeurs qu'elle prend lorsque z parcourt les axes coordonnés.
Si z parcourt l'axe des x, en supposant que le radical yfi — z^ parte de l'origine avec la valeur -h i et que z évite le point de ramification -f- i en passant au-dessus, on aura d'abord l'intégrale
flz
qui, pourp infiniment petit, tendra vers une certaine limite réelle, que nous désignerons provisoirement par A. Posons maintenant z = i H- pe'V», d'où
pour ^ = TT, le radical doit avoir la valeur positive ^i — p, ce qui exige que l'on prenne l'expression précédente avec le signe — . On devra donc poser
ii^z—^sfoe "^ = — i\/i
p-h-rt I .
D'après cela, l'intégrale le long du demi-cercle supérieur aura pour
valeur
/ z= — yp I --z^. — ^=z:J
INVERSION DE l'ARC-SINUS. i3i
quantité infiniment petite en même temps que p, et dont la valeur, aune fraction près infiniment petite d'elle-même, sera (i -+- 1) \/a]ô. Après avoir parcouru le demi-cercle supérieur, z revenant sur Taxe des x avec la valeur i -f- p, ^i — z prendra la valeur — iyfpy et par suite le radical ^i — z^ aura une valeur imaginaire négative,
de la forme — ili^. Donc l'élément -— — de l'intégrale sera de la
forme -4- i7i^, et par suite la partie de l'intégrale prise de i-+-p
^ — » sera aussi de la forme -f-iA*.
Décrivons maintenant, du centre O et d'un rayon infiniment grand r, un quart de cercle entre les axes O j: et Oy, et intégrons le long de ce quart de cercle. Si l'on pose z = re^P, l'intégrale devient, en remarquant que le radical yfT—z^ doit être, pourp = o, de la forme — lA', ainsi que le quotient de sa division par re'/*,
w 'ir «
ç^ rd,ép __ I r^ dp __^ r^ fip
-lip
dont la limite est pour /• = ao .
La variable z arrivera sur l'axe Oj avec la valeur -f- 1/*, et l'intégrale prise le long de l'axe desj>',
Jir V'i — 3* Jr V14-J*
sera une imaginaire pure, de la forme ±ih^. Sa valeur numérique, étant plus grande que celle de / -^ = logj^, sera infinie pour
En écrivant maintenant que l'intégrale prise le long du contour total est nulle, on aura, pour p infiniment petit et r infiniment grand.
Jo v'i — 2* \%/i-t-p v« — •''* Jr ^i-t-j^y a
l3a LIVRE VI. — CMAP. III, § IV.
En égalant séparément à zéro la partie réelle, on a
« dz
La seconde intégrale étant de la forme 4- lA-, la dernière doit être
de la forme — i7i-, et, comme i • est négatif, il faut que
le radical \/i+^ soit pris avec le signe -h , ce qui résulterait d'ailleurs de ce qu'il doit revenir en O avec sa détermination initiale.
Ainsi aux valeurs féelles de z depuis zéro jusqu'à H- i corres-
pondentdes valeurs réelles de M depuis zéro jusqu'à H — • Lorsque z
TT
TT
varie de -h i à -h oo , m prend des valeurs complexes de — h lo à
te
— h îoo . Pour z purement imaginaire, de zéro à -+- loo , u passera
par toutes les valeurs purement imaginaires, de zéro à -h loo .
Si l'on change z en — Zy l'intégrale u ne fera que changer de signe. Donc, si l'on fait parcourir àzdes chemins symétriques des précédents par rapport à l'origine, u prendra des valeurs égales, au signe près, aux valeurs précédentes. Ainsi, z variant de zéro à — I , M variera de zéro à — tt ; z variant de — i à — oo , après
avoir évité le point — i en passant au-dessous, u variera de —
TT
à 1 00 ; z variant de zéro à — i oo , u variera de zéro à — i oo .
1277. Supposons actuellement que z parcoure un chemin rec-' tiligne z = 7*e^P, Pour avoir l'inclinaison de la tangente à la courbe u au point- correspondant à z, remarquons que l'argument du radical ^i — z'^ est la demi-somme des arguments des facteurs i -h z, I — z de la quantité sous le radical, c'est-à-dire Tinclinaison de la bissectrice de l'angle P'OP {/ig, loo), OP et OP' représentant les facteurs en question. Cet argument sera nul pour r = o ; il deviendra ensuite négatif si p est aigu, positif si p est obtus. Pour r infini, la bissectrice de P'OP se confondra avec une perpendiculaire à la droite Oz, et aura ainsi pour argument p • Donc
INVERSION DE L* ARC-SINUS . l33
la diflférence entre p et Targument du radical, c'est-à-dire Targument de ^ variera depuis p jusqu'à p — ip ) = ~; donc
la tangente à la courbe u coïncidera d'abord avec le chemin recti-
ligne Ozy puis elle s'écartera de Os, et, à l'infini, elle deviendra parallèle à Oy,
On voit ensuite, comme au n? 1273, que, si l'on fait croître l'angle p infiniment peu, la distance des deux courbes u correspondantes aux angles p et p-h ip sera infiniment petite, mais différente de zéro pour z fini, de sorte que les courbes u ne se rencontrent pas et se succèdent d'une manière continue.
Donc, si l'on considère tous les chemins rectilignes compris entre les directions O j: et Oj^, on voit que les diverses courbes u correspondantes varieront par degrés continus, et toujours dans le même sens, depuis la courbe u correspondante à Ox (*), la-
quelle se compose d'un segment de l'axe réel égal à-i et de toute
la perpendiculaire à l'extrémité de ce segment, jusqu'à la courbe u correspondante à Oj^, laquelle est l'axe imaginaire lui-même. Ponc toutes les courbes u remplissent complètement et une seule
fois la bande verticale de largeur - comprise à droite de Oy dans
le premier quadrant.
La symétrie nous montre que la même chose se passe dans le
(' ) En supposant qu'on ait évité le point •+■ i par un demi-cercle supérieur.
- et X =H — 1 '1
l34 LIVRE VI. — CHAP. III, § IV.
troisième quadrant, si Ton a évité le point — i au moyen d^un demi-cercle inférieur, de sorte que les courbes u correspondantes aux chemins rectilignes compris dans ce quadrant remplissent
entièrement et une seule fois la bande de largeur - située dans ce
même quadrant.
En faisant croître pde - kn, on verrait de même que les courbes u
correspondantes aux chemins rectilignes compris dans le deuxième et le quatrième quadrant remplissent, sans superposition, les portions de la bande verticale comprise entre x = et x =
qui se trouvent dans ces quadrants respectifs.
Donc z est une fonction sjnectique de u dans toute l'étendue de la bande verticale en question.
1279. Si l'on avait commencé par décrire l'un ou l'autre des contours élémentaires (-4- 1), ( — i), on aurait obtenu, en parcourant les divers chemins rectilignes, les valeurs précédentes de u changées de signe et augmentées toutes de zhn. Dès lors, les valeurs réelles de l'intégrale s'étendront de — tt à -f- îr ( * ).*Donc, dans la bande verticale de largeur 2îr, dont l'origine occupe le milieu, on aura, pour la même valeur de z^ deux valeurs de l'intégrale, de la forme u et zfc tt — w.
£n parcourant maintenant l'ensemble des deux contours élémentaires un nombre quelconque de fois, on formera, comme nous l'avons vu, un nombre illimité de systèmes identiques de valeurs de u, correspondants à un même système de valeurs de z, et situés dans les bandes successives de largeur 2?:, prises de part et d'autre de la première.
(*) En effet, les parties réelles des valeurs de u obtenues dans le numéro précédent varient entre et h — • Les parties réelles de -h w — « varieront donc entre h — -
et -h ~9 celles de — it — u entre et -On voit donc que la bande de largeur
2?r, s'étendant symétriquement de part et d'autre de O7, èontiendra toujours l'une des deux valeurs — t: — u et 4-:r — r/, et une seule, puisque tout nombre compris
entre -*- tt et — w est contenu dans l'un des trois intervalles de h — à -1 » de
à H — et de à — -> et y est contenu une seule fois.
INVERSION DE L ARC-SINUS. l35
1280. De ce que nous avons établi dans le paragraphe précédent il résulte que la variable z, considérée comme une fonction (le rintégrale li, est uniforme et continue dans toute Tétendue du plan, et qu'en outre elle est périodique, sa valeur ne changeant pas lorsqu'on remplace u soit par anTT -hi/, soit par (2/1-1-1)7: — u, de sorte que, si Ton désigne celte fonction par smu, on aura
sinz^ = sîn[2/i7r -{- u) = s\n[[in -f- iJtt — n].
On a, de plus
sin ( — u) = — sini/,
d'où Ton conclut la relation
sin [(2/1 -f- i)Tr H- !/] = sin[2/i7r — 11) = — sina.
Donc, en général, on a
sin[/i7r 4- 1/) =r ( — i]'*sinw,
1281. 11 est utile d'introduire aussi comme fonction analytique
le radical ^1 — z^ = ^i — sin^i/, que l'on désigne par la notation cosu. La valeur numérique de ce radical se tire immédiatement de celle de sin ri; mais son signe ne peut être fîxé d'après la valeur de u qu'au moyen d'une discussion spéciale.
Considérons d^abord les valeurs de u pour lesquelles on a
sin tt =: -h I .
L'intégrale 1 ayant pour valeur - > on aura par conséquent
sin- = -H I, et, en vertu de la périodicité de la fonction sin m, on aura, quel que soit l'entier n,
«n[/iir+(-i)«^J = i.
Pour la valeur - de u, le radical zhJi — -s^* = cosa s'évanouit.
Si on le suppose partant de u = o avec la valeur + i , quel devra
TT
être son signe dans le voisinage du point de ramification - ?
l36 LITEB VI. — CHAP. III, § IV.
Donnons à u une valeur --f-e, infiniment voisine de—: nous aurons, par les formules précédentes,
Donc la fonction sin {-- + «) «^st une fonction paire de €, et, si on
la développe en série suivant les puissances de e, le développement ne pourra contenir que des puissances paires, et sera de la forme
sini - -h ej =H-tfe*-+- 6s*-f-
On tire de là
Pour une valeur suffisamment petite du module de e, cos ( — + £ ) est donc sensiblement proportionnel à la première puissance de e, et par conséquent le point ~ n'est pas un point de ramification de
vr
celle fonction, non plus que les autres points m: -h ( — i)"- pour
lesquels sinu = H- 1 .
Il en serait de même des points pour lesquels sinu = — i, c'est-
à-dire des points nit — ( — i )« - •
La fonction sinii devient infinie pour u égal aux valeurs de Tin-
i et il résulte de ce que nous avons vu que ces
valeurs se composent d*une partie réelle arbitraire, jointe à une partie imaginaire infinie. Donc sinu ne devient infini pour aucune valeur finie de u.
Dcuic nous avons démontré que la valeur de cosu est uniforme pour toute valeur de u.
1281. Pour étudier maintenant la périodicité de la fonction cosu, considérons l'équation transcendante
cosu = COSllo.
INVERSION DE l'ARC-SINUS. iSj
En remplaçant le cosinus par sa valeur dt^i — sin-'w, cette équation entraîne une des deux, suivantes:
( I ) sini/ =r + sin «09 sin « = — sin «q.
La première de ces équations donne
u •=. nrc^ ( — i)"«o*
Si Ton désigne maintenant par C le chemin quelconque que Ton a décrit pour obtenir Tintégrale Uq, il résulte de ce que nous avons dit au n^ 1255 que l'on obtiendra la valeur de u en faisant précéder le chemin C du parcours alternatif des deux contours (-H i), ( — i), en commençant par le premier ou le second suivant que /* est pair ou impair, et faisant un nombre total de tours égal à n.
Or, à chaque parcours d'un contour élémentaire, le -radical change de signe. S'il est donc parti avec le signe -l-i, il aura, après les n parcours, le signe de ( — i)". Donc il partira, pour décrire le chemin C, avec la valeur ( — i)". Il arrivera donc au point correspondant à Uq avec la valeur ( — i)" cosi/o. Donc
COs[/î7r4-( — 0"''o] = ( — ij'^COStto»
et, pour que cette valeur soit égale à -h cohuq, il faut que n soit pair, ce qui donne une première solution exprimée par la formule
(2) COS(7/ÎTr -h «o) = COStto*
La seconde équation (i) donne
u z=z ni: — ( — O^^o»
et l'on en tirera comme ci-dessus
cos(2/i7r — «0) = cos( — I/o)-
Or cosM= yj\ — sin^ =y/i — sin^( — u) est une fonction paire de «, et l'on a
cos( — «0) = COSI/o.
Donc on aura encore
ces ( 2 /l ir — U(,]=z ces tfo'
Par conséquent, toutes les valeurs de u pour lesquelles le cosinus
l38 LIVRE VI. — CHAP. ïll, § IV.
sera égal à cosuo seront données par la formule
1282. Ajoutons encore quelques détails sur la marche de la fonction cosii.
Tandis que z décrit Taxe des x positifs, de o à H- oo , en passant
au-dessus du point -f-i, nous avons vu que, deoà -i-i, y^i — zvarie de H- i à o, tandis que u croît de o à -» d'où
TT
coso = I , cos - = o.
A partir de 2 = i , le radical ^ i — z'^ prend des valeurs imaginaires de la forme — ig^^ correspondantes à des valeurs de u de la
forme - -h lA'. Donc la valeur de cos ( - 4- Ut^ ) est de la forme — 1^-.
Pour z infini réel, y/ 1 — z- a pour valeur — 100 , d'où
cos
Si z s'éloigne à l'infini, suivant une direction d'argument/;, le sinus étant égal à 00e'/', le cosinus aura, comme le sinus, une valeur complexe infinie, dont la valeur approchée est — loo e'Py
correspondante à l'arc - — p -^irf^ ,
Pour p = -» la valeur de cos a devient -f- 00 pour u= -^ ico .
Deii = o à u = -hiûo, costt a des valeurs réelles croissant de -f- 1 à -+- 00 .
Nous avons discuté la courbe décrite par u lorsque z parcourt un chemin rectiligne partant de l'origine. Il est aisé d'obtenir la
courbe correspondante décrite par le cosinus ^i — z'-*. Elle a pour équation
^T^^= ç -h /13 = Vf — Hc*"',
ou, en éliminant r,
ï* — 2Çtq cota/? — r.'= ï.
INVERSION DE l'aRC-SINUS. i39
équation d'une hyperbole dont les asymptotes font avec Ox les angles p et p •
Le carré du module de cosa = ^i — r^e'^^P est
/!>*=: 1 — 5tr*COS2/7 -h r*i
dont la valeur atteint un minimum pour 7*'=cos2^, et Ton a alors p = sin2p.
Si Ton désigne par gt l'argument de ^i — z-, on trouve
— 7-*sin2D tanija/?
tang2cT=: —
1 — /-^COStÀJJ
/•'eus 2/^
Pour r=o, cosM = i, tang 207=0, cr = o. Pour r croissant à partir de zéro, tangacr devient négatif, si p est <^-7^ pour redevenir positif après avoir passé par 00 , et le rayon pe'" va en s'écartant de la droite re'P, jusqu'à ce que, pour r = 00 , il lui devienne perpendiculaire.
Nous engageons le lecteur à construire et à comparer, pour un chemin rectiligne donné de z = sini/, les courbes décrites par les fonctions u et cosix.
1283. Nous avons vu [827, III] que, étant donnés deux arguments li, i/| dont la somme est constante, leurs sinus z, z, satisfont à la relation
z^ i — *j -4- JSi v'i — 5'z=consl.,
et la constante n'est autre chose que ce que devient le sinus de l'un des arguments, quand l'autre argument s'annule, les radicaux devant se réduire chacun à H- 1 pour z ou Zi nul. On peut écrire cette relation sous la forme
sinu cos«| -4- sini/| cosm = sm[u -4- &i ].
Si l'on y fait iit = ? il vient sin Mi = — i et
— ces// = sm I « ] = — sin I m J ,
l40 LIVRB VI. — CHAP. III, § IV.
d'où
cos
On tire de là et des formules précédentes toutes les relations qui lient entre elles les fonctions sinus et cosinus.
1284. IV. Traitons, pour dernier exemple, l'inversion de l'intégrale elliptique
/•* dz r^ dz
Nous avons vu que toutes les valeurs possibles de cette intégrale, correspondantes aux valeurs de la limite supérieure Zy s'obtiennent en faisant précéder l'intégration rectiligne correspondante à cette limite d'une ou de plusieurs intégrations effectuées
le long des quatre contours élémentaires (=b i), ( db -r j> et que
toutes ces valeurs sont distribuées d'une manière identique dans chacun des rectangles de dimensions 4K. et 2K', dans lesquels on peut partager le plan des u.
Il résulte de là que z^ considéré comme fonction de m, est une fonction doublement périodique, ayant pour périodes 4^. et 21K'.
Il nous reste à établir que cette fonction est uniforme et continue, et pour cela il nous suffira de considérer les valeurs rectilignes de l'intégrale u, et de montrer qu'elles remplissent complètement et une seule fois l'étendue de l'un de ces rectangles, celui qui a pour centre l'origine des coordonnées.
Faisons d'abord parcourir à z les axes coordonnés. L'axe des x
positifs contient les deux points de ramification -i- i et -f- -• En évitant le point -h i au moyen d'un demi-cercle supérieur, on
aura d'abord, comme au n° 1276, l'intéfirrale / ^ , . > qui a
Jo ^(^)
pour limite K [1202], puis l'intégrale semi-circulaire
qui s'évanouit avec p, et dont la valeur approchée à une fraction
INVERSION DE l'iNTëGRALE ELLIPTIQUE. l4r
près infiniment petite d'elle-même sera
si? r \'^ } » -i- ' / —
Dans le parcours du demi-cercle supérieur, z = i-j- pe^P variant dei — pàiH-p, I — z variera depuis — pe^'=:-hp à — pi et
^i — z depuis àzifre- jusqu'à ±ip*, et, comme la première de ces valeurs doit se réduire à -h yô, on doit prendre pour les deux le signe inférieur, de telle sorte que ^i — z variera de ~h y'p à — i \Jp,
Donc, entre les points H- i et H- -r» le radical \Ji — z et par suite
aussi le radical R(z) devront prendre des valeurs de la forme — ih^. L'élément de l'intégrale sera donc, dans cet intervalle, de la forme -I- ili^y et il en sera de même, par conséquent, de l'intégrale
K' étant.réel et positif. On aura donc
K -H iYJ
Dez = -àz = -i-oo l'intégrale s'accroît de la valeur
que nous avons trouvée égale à — K. Donc on aura
*« dz
= 4- iK',
de sorte que, lorsque z parcourt l'axe des x, en évitant les deux points critiques -I- i et -f- -j suivant des demi-cercles supérieurs^
u variera de o k k par des accroissements réels positifs, puis de K
à K-f-iK' par des accroissements de la forme -hih^, et enfin de K + iK! à -f- « K' par des accroissements réels négatifs.
De z = o à -3 = -h 100 , sur Taxe des j^, u variera d'une manière continue depuis o à -f- îK!,
Si Ton évite les points critiques sur Taxe des x négatifs suivant des demi-cercles injerieursy on verra de même que m variera ,odeoà— R, 2^de — Kà — K— /R', 3°de — R — iK'à— iK'.
Sur Taxe des j^ négatifs, u variera de o à — loo .
Ainsi, si Ton construit un rectangle de centre o et compris entre les droites j:= ±:R, y=: ziz R', on voit que, tandis que z parcourra Taxe des x positifs, u parcourra la portion de contour OABCO [Jig- loi). Si z parcourt l'axe des x négatifs, u parcourra O A'B'C'O ( * ); « parcourant les axes des y positifs et négatifs, u parcourra les droites OC et OC.
-K-ac'
Fîç. 101' I J
