I - = moy -, - X logp
est infiniment grande pour p infiniment petit.
L'intégrale u^ étant une fonction impaire de Zy repassera par les mêmes valeurs, au signe près, le long d'un contour symétrique du précédent, c'est-à-dire composé de l'axe des x négatifs, d'un quart (le cercle joignant les points — oo et — loo , et de l'axe des / né- ^atifb, où l'on aura évité le point — i par un demi-cerde tracé à gauche de cet axe.
Les contours correspondants aux deux autres quarts de cercle de rayon infini peuvent être remplacés par l'un des deux contours élémentaires {-\-i)y ( — i), suivi des mêmes contours où l'on aura évité les points critiques dans les sens contraires des précédents, c'est-à-dire de manière à laisser ces points en dehors des contours. On aura ainsi, sur le contour correspondant au deuxième quadrant, l'intégrale relative au contour élémentaire (-h*), qui est égale à 4- îT, plus la somme
où /' est infiniment grand et p infiniment petit, et dont la valeur sera encore nulle.
On voit déjà que, si Ton donne à z toutes les valeurs réelles de — 00 à -h oo y il prendra, et une seule fois, toutes les valeurs
réelles de à H — «Si l'on donne à z toutes les valeurs imagi-
naires pures positives, z variant de o à -\-i — ip, l'intégrale u varie de o à -h 100 ; z contournant le point ■+- i en passant à droite,
U varie de -h loo à H loo , et enfin, z variant de -f-t-f-ip
à -h 100 , u varie de H 1 oo à H —
Si, au contraire, z parcourt Taxe des j^ négatifs, en passant à gauche de — i, l'intégrale prendra des valeurs respeclivemenl égales et de signes contraires aux précédentes.
1275. Discutons maintenant Tintégrale prise suivant le chemin rectiligne z = re^P,
Tangle p étant d'abord supposé aigu.
L'argument de la différentielle du est égal à l'argument y? de dz, moins l'argument du dénominateur n-z*=(2:-f-i)(>2 — i)=ON.OX' {fig- 99), lequel est égal à la somme des angles a: ON, jrOiV. Celte
Fig- 99.
somme est nulle pour z = o, et par suite, au départ, la courbe u
est tangente k Oz, Pour z croissant, chacun des deux angles s'ap proche indéfiniment de />, et, pour z = ao , l'argument de u a pour limite p — 2p = — p. D'ailleurs, en remplaçant le chemin Oz par un chemin rectiligne égal pris sur Ox et par un arc de cercle joignant les deux extrémités, on verrait, comme au numéro précédent, que l'intégrale circulaire est nulle pour r = oc. Donc,
TT
quel que soit p <^ -» l'intégrale rectiligne aura toujours, pour
TT
la valeur H — • Donc la courbe m, aux points qui correspondent à /•= o et à /• = 00 , est tangente aux deux côtés d'un triangle isoscèle ayant sa base, de longueur -j située sur Ox.
