H //(sin'f 4- sin*x) -*- '*' sin*y sin

On a d'ailleurs, par la formule d'addition des intégrales de première espèce [827, V],

(co8(r -h sin^ sinxA<r)*= cos*y cos*x = > — (sin*^» -4- sin*^) + sin'y sin*x>

d'où, en éliminant sin^y + sin*;r, et posant, pour abréger.

sin9>sîn;r = /, on lire

1 H- /2 sin G- — in cos œ As- . / -h n\n -f- X - sur <t j /*

On a, par conséquent,

n(y, n] -h n(x, '0 ==/^U 4-const.

Si Ton suppose maintenant y = o, il en résultera

Donc, en intégrant à partir de ç = o ou de « = o, la constante d'intégration sera égale à n((T, w). Donc

(3) n(^/?) + n(x,/7)-ii((7,//)= r rfu,

ou

J/t sn K sn t' f r/U.

1390. La nature de cette intégrale dépend de celle des racines (lu dénominateur de rfU, c'est-à-dire du signe de l'expression

(/icoserAer)' — (iH- /î slncr)/î(/i H- /*sin*<r)

^^ — sin*(T./ï(/î H-i)(/î -h /') = — Nsin'(T.

Le dénominateur de U sera donc décomposable en facteurs réels ou en facteurs complexes suivant que N sera négatif ou positif, c'rst-à-dire suivant que le paramètre n appartiendra à la prenHère classe ou à la seconde.

Donc, si les intégrales n(çp, «), n(x»n)sont de la première classe, le second membre de la formule d'addition (3) s'exprimera sous forme réelle au moyen de la fonction ArgTh, ou, ce qui revient au même, au moyen des logarithmes. Si les intégrales sont de la seconde classe, le second membre s'exprimera par un arc tangente. De là les noms de paramètre logaritlunù/uc ou de paramètre circulaire, attribués respectivement, dans ces deux cas, à la constante n.

On trouve, en efiectuant les calculs, pour la première classe,

' . r«i v/— N-sinApsinYsinolJ = —. ArgTh ^ ^ ,

V — h sin'o' + sm3»sinxcosflrA(r

et pour la seconde classe,

__ I \/N.sin^siny sinor U =: — =. arc tang

V^ — -h sin*<r -f- sin^ sin^ ces» Ao-

1391. Relation entre des intégrales de troisième espèce de même amplitude et de paramètres différents. — Si l'on difie-

rentie l'expression

sin 9 CCS o w =. — — î 9

lH-^sin*y)Ay

ce qui donnera

I — f^ -+- g'jsin'y H-(i -*- 2g')X'sin*y — g'A:*sin*9> dtf

Il -|-g^Sin"y)*A'y Af)

on en tirera, h étant, comme g, une constante indéterminée,

/*'*'€/»' Tf I — iî-|-/5')sin*9»-HfH-a/»]X»sin*y--^*«8in«9> rfy^ Jo M-^"~«/o (iH- g'sin^yJ^A'î» -H/isin'ycos*f Ay

Les deux termes de la fraction qui multiplie -^ ' àdji^ le second membre, sont deux polynômes du troisième degré chacun par rapport à sin^(f . En remarquant que la fraction se réduirait à - pour

sin^f = 00 , on en conclut que cette fraction peut se décomposer en fractions simples, sous la forme

g I -h /i sin* y I 4- «'sin* y i -H «"sin'y et l'équation (i) devient

(5) /"r+t' = ^FW -^An(f. /.)-HA'n(T, /.') + A''n (,.«'),

H. — Cours de Calcul infin., IV. i ()

290 LIVMK VI. — Cil A P. IV, § IX.

Celte équation contient les huit constantes

g^ /i, /î, il', /i", A, A', A'',

liées entre elles par six. relations, savoir, les trois relations obtenues en identifiant le polynôme

(i -f- ^sin*9*)' A*^ -h /i sin'y C()s'ç> avec le produit

(1 "\- «sin'f») (i 4- /i'siTi*^)(i -T- /i"sin*y),

et les trois autres qui déterminent les coeflicients A, A', A'''. On peut donc se donner à volonté deux de ces constantes et déterminer par leur moyen les six autres.

Supposons que Ton ait choisi d'avance les deux paramètres /i, «', et que ces paramètres aient ou des valeurs réelles ou des valeurs complexes conjuguées, de sorte que leur somme et leur produit soient des quantités réelles. On trouvera alors, pour les autres constantes g, A, tï", des valeurs réelles, par la résolution des équations

En ajoutant ces équations après les avoir multipliées i^ par i, 1,1, a® par k*, Âr^, i , on en tire

Si Ton déduit de la dernière équation (4)1^ valeur de

fr

nn

et qu'on la substitue dans (5), Téquation deviendra

(8) g*[nn' -h X* (/i -4- /î' 4- I )] -f- igÂ'^nn' = nr/{nn'-¥ /i-H /i' -+- X*).

On voit aisément que les valeurs de g fournies par cette équation sont réelles quand n et n' sont deux quantités complexes conju-

guées. On trouve , en effet, pour la quantité sous le radical dans Tcxpression de g,

y^n^n'* -h nn' [nn' -\- n -^ n' -h X*] [ W + X« (/î -f- /i' + i)]

= /î;2'(/î -h i)(/i'-f. i)(/H- X-«)(ii'+ X-«) = NN',

N et N' étant les nombres caractéristiques [1385] des deux paramètres n, n', et ce produit est positif, si les deux nombres nn! et

1 sont positifs.

Connaissant g, on aura /z'^par l'équation (7) et A par Téquation

(9) f'=-J^An + P){n'+P){n''+P).

On a ensuite

d'où Ton déduit les valeurs de A' et de A" par des permutations d'accents.

1392. Dans le cas où n et n' sont deux quantités complexes conjuguées, les valeurs de g, h, vH étant réelles, on voit que l'équation (3) donne pour la somme

An(y, /i) -hA'n(y, /î') une valeur réelle

dans laqueilc entre une intégrale de troisième espèce à paramètre réel. En substituant successivement, pour gj h, /i", A, A', A", les deux systèmes de valeurs de ces quantités qui correspondent aux deux racines de l'équation (8), on aura deux équations de la forme

( A,ii(y, /î)H-A;n(^ «') = n„

d'où l'on tirera pour n((p, n) et n(cf, n') des valeurs exprimées au moyen de deux intégrales à paramètres réels n(cp, n\), n(y, n^. Qn peut donc, dans tous les cas, ramener une intégrale a paramètre

complexe à des intégrales à paramètre réel, ainsi que nous l'avions annoncé [1384].

Dans le cas particulier où Ton a

Tune des racines g^ de l'équation (8) est nulle, et il vient

n\z= o, /i, = — nn'.

Si l'on fait

n =z fie"', /i'=^e"'%

on trouvera, en reprenant directement les calculs, à partir de l'équation (i), dans l'hypothèse de ^= o^

A ) ^«4- A«4- f2/*cosv — fi)é^*'' et la seconde équation (lo) sera remplacée par l'équation

(..) A,n(,.«) + A;n(„«') = -^;F(,) + iArgTh!ii'"^^°»^

1393. Nous avons établi [1350] la relation identique

5, ( a -H j: 1 5, ( a — x) sn' u

On en tire, en la différentiant logarithmiquement,

D-^sn'tt

b,log5,{a + x) -- D^log5i(« - x) - 2D^log5(x) = ^^^^-^—

d*où, en permutant entre eux a et u, et remarquant que la fonction 5i est impaire,

D sn*rtf

D. log5j (x 4- «) 4- D.log5i (x - a) - 2D.log5(«) = ^^— ^;

par suite, à cause des égalités

D.log^i (x 4- a) = D^log^i (x — «), D.log^i (.r — «]== — Dj:log Jj [x — a),

on a D,log5i(.r4.«) - D^log5j(x- «) - 2Djog^(a) = ^^,^'^^^-.

INTÉGRALES ELLIPTIQUES DE TROISIÂlfE ESPàCE. agS

On tire de là, en intégrant par rapport à Xy I / ^=x.D.log5 a -h -log-^ \'>

\a i — au a j sn* u

expression des intégrales dont le paramètre est logarithmique et compris entre — i et — oo , en fonction des quantités log^,» et de leurs dérivées.

1394. Nous avons encore démontré [1350] la formule

d'où Ton tire, en raisonnant comme au numéro précédent,

f \ w* , r'* sn^udtê ^ , ... I, âîx-^a)

(2 A'snacnadna f — — r r— =a:.DalogS"(a] Ioct-t r

^ ' J^ I — ^*sn*asn*w © v / ^ ^5(x — a)

Le premier membre de cette équation est l'intégrale que Jacobi a choisie comme type des intégrales de troisième espèce et qu'il a désignée par n(u, a). Pour éviter toute confusion avec la notation de Legendre, dont nous nous sommes servi jusqu'ici, nous désignerons, avec Gudermann, l'intégrale (2) par le symbole

[5] S[u. a] = A-^ snacnadna I r^ — r r— •

^ ' ^ ' t/o * — A* sn* fl su* u

Suivant le langage adopté par Jacobi, la constante a est dite le paramètre de l'intégrale, tandis que, d'après la terminologie de Legendre, le paramètre est — k^sn^a.

En comparant l'expression précédente avec l'intégrale correspondante de Legendre, on aurait

(4) ^(tf, a)= [— Il -f-n( ami/, — ^•sn*^)],

"(?.«) =F(f)+-^«[F(r). F^arcsinî^j]

La formule (a) donne le développement en série des intégrales de troisième espèce à paramètre logarithmique compris entre — k*

a94 LIVRE VI. — CHAP. IV, § ÏX.

et o, comme la formule (i) donne le développement des intégrales dont le paramètre est compris entre — oo et — i .

Si Ton a égard à la formule (ii) du n^ 1380, la valeur (2) de B{uj a) pourra encore s'écrire sous la forme

(6) 5(«,a) = «(el«-|a)-ilog||;^.

1395. Il est maintenant facile de passer au développement des intégrales à paramètre circulaire, les différentes formes d'intégrales de troisième espèce pouvant se déduire les unes des autres par les substitutions qui transforment les unes dans les autres les quantités

î^, — dn'*rt. — k* sn*«, /'» tn'*/7, .

que nous avons indiquées [1385] comme représentant le paramètre n dans les quatre cas qui peuvent se produire.

Si l'on remplace a par a -h K-f- iK', Asna se chansre en ^

^ * " snca

et l'intégrale (3), relative au troisième intervalle [1384], se change

dans l'intégrale relative au premier, c'est-à-dire dans l'autre type (i)

d'intégrales à paramètre logarithmique :

^'^ ^ ^ tncaj^ snc*/i — sn*£/ « b î^ ; ^ ^3-j(j-a)

Si l'on change actuellement, dans les formules (2) et (7), a en m, on aura les formules qui représenteront les deux sortes d'intégrales à paramètre circulaire :

. . k^ân'a tn' a T" su* « du

'"'^^"~ ^'*^f X i-hX'*tn'*^sn*«

0 i-dn'*asn«tt

1396. On pourrait traiter de la même manière les intégrales des trois autres formes

/rlu r en* tt fia Ç àn^udu

i-T- n su* u J 1 -I- /i sn^ u J ^ -\- n sn' u

On partirait du cas où le paramètre est représenlé par — Â^sn^a, et, en multipliant ces intégrales respectivement par les facteurs

dn« /'snrtcn/i

- - 5 — ,- ? dn^tnrz,

Uxa ana

on obtiendrait pour chacune quatre formules, dont les seconds

membres contiendraient le même second terme - loff-— ^ r> ou

ceux qui s'en déduisent, et des premiers termes semblables, au changement près de Tindice du 5.

1397. Les seconds membres des formules obtenues de cette manière admettent, comme nous l'avons vu dans le § V de ce Chapitre, des développements rapidement convergents pour toutes les valeurs du module.

On peut, dans le cas des formules (7), (8), (9), augmenter

encore la convergence, lorsque l'argument a du paramètre est plus

K ¥J grand que — ou - - > en introduisant, au lieu de cet argument, son

complément K — aouK' — a.

On a encore, entre les intégrales (3), (7), (8), (9), les relations

S [ /«, « ) ^^ - S [ tt, a -f- /K' ),

1398. Donnons encore quelques formules relatives à la forme (3) de l'intégrale de troisième espèce, en laissant au lecteur le soin de les étendre aux autres formes.

Si l'on échange entre elles les lettres u et a dans la formule (6), on trouve, à cause de ^(« — x) =5(x — a),

K / 2 °S-^.r — aj

En faisant la différence des deux équations, on obtient la relation

(lo) S[u,a) — uela =iB[a, u) — a élu,

La fonction S(m, a) — uela n'est donc pas altérée par l'échange des deux arguments u, a.

Si l'on fait, dans l'équation (lo), a==K, ^(a, K) étant nul, il vient

(il) S(K, a)=r:Kela~aE.

Donc Vintégrale complète de troisième espèce s^exprime au moyen des intégrales des deux premières espèces.

1399. Pour compléter ce que nous avons dit au § Vil de ce Chapitre, touchant le calcul numérique des intégrales et des fonctions elliptiques, nous ajouterons ici quelques Tables abrégées, pouvant servir à éclairer la discussion des formules qui dépendent de ces transcendantes, et même à obtenir une première approximation des résultats.

.La première de ces Tables donne avec quatre décimales les valeurs des fonctions du module, c'est-à-dire des intégrales complètes de première et de seconde espèce et de la quantité 9, pour les valeurs de l'angle 0 du module, de centième en centième du quadrant.

Dans les cas où le module est très-voisin de zéro ou de l'unité, certaines interpolations devenant pénibles ou même impraticables, nous les avons remplacées par l'usage des nombres auxiliaires contenus dans les colonnes a et ^, et dont nous allons expliquer la signification.

D'après la formule {7) du n*» 1371, le nombre q est déterminé par une série très-convergente pour les petites valeurs du module A',

série dont le premier terme est -^- Donc la valeur de q est alors très-

peu différente de -7-.1 et son logarithme pourra s'obtenir en ajou-

tant àlog-7T une petite correction que nous désignons par a, et dont les valeurs se prêtent aisément à T interpolation.

Exemple. — Pour d = o*', 2J73, calculer log^ et log^ ( ' ). I^ Table nous donne d'abord, pour cette valeur de 6,

log k : ~ log sin 6 1:^1^ ^94^»

d'où

On a ensuite, en dix-millièmes,

d'où résulte

log<7 = log--. -+- a rrr 2,0209.

Maintenant, M étant le module des logarithmes décimaux, on a [1337] la relation

log -log — ~M*7r», 7 7

d'où l'on tire

b,'log-- r-log!V!»7rî->loglog- 1,97340,

et par suite logy'=T,o594.

1400. Pour des valeurs très-petites du module k, le quadrant elliptique complémentaire K^ prend des valeurs très-grandes et qui varient rapidement avec k. Mais on peut en faciliter beaucoup le calcul au moyen d'une formule d'approximation, donnée par Legendre, et dont nous empruntons la démonstration à une Note de M. Darboux.

( ' ) Il est à peine besoin d'avertir que les logarithmes qui figurent dans tous c«^s calculs numériques sont des logarithmes </ecimaux.

Si Ton pose

l'intégrale

flz

- G* v/ 1 — A' pourra s'écrire sous la forme

' /f 3, k' ] fh

OU, en ajoutant et retranchant, au numérateur, la quantité

J[l,k']dz=r ,

Jo V 1 — z^i — A' z Jo V < — ^ \^ ' — ^' «

Si dans la seconde intégrale on suppose k':=iy cette intégrale se réduit à

Donc, pour k très-petit et A^ très-voisin de l'unité, la seconde

intégrale différera très-peu de -log2 et pourra se représenter sous

la forme

E étant infiniment petit avec A.

La première intégrale a pour valeur

"2 ~ i/l-rX'(l-hv/'/-')

l/)nr J! : — . 7.

et sa limite, pour A' tendant vers l'unité, est celle de

i\fl 3 , ,1

log-j-r- -logo, -i-log-

Donc la somme des deux termes de la valeur de K' peut s*expnmer par la formule

£ étant infiniment petit en môme temps que k.

Donc, pour k très-petit, le logarithme de K' différera très-peu

de loglog-r9 et s'obtiendra en ajoutant à cette dernière quantité

une correction (3, indiquée dans une colonne de la Table I.

Si les logarithmes sont décimaux, comme ceux de la Table, il

faudra ajouter au logarithme décimal de j le logarithme de rr •

Soit, par exemple, 6 = o*ï,o458 ; on aura

d'où Ton tire

log -- — log ( 4 coséc^ ) — 1 , 7454,

ï'>gl%'7 = Ot24«9

log — =-^ o, 36'2a

— o,ooo4

logK' =r= 0,6045

1401. La Table II fait connaître, pour les diverses valeurs de l'amplitude et de Tangle du module, les valeurs, tant naturelles que logarithmiques, des intégrales elliptiques de première et de seconde espèce.

Pour les petites valeurs de l'amplitude et du module, l'interpolation s'effectue plus facilement en faisant usage des valeurs naturelles. C'est le contraire qui a lieu pour les grandes valeurs des deux arguments, surtout lorsqu'il s'agit des intégrales de première espèce. Aussi avons-nous, pour ces dernières, donné à la Table de leurs valeurs logarithmiques une plus grande extension, en calculant cette Table pour chaque centième du quadrant, à partir de la valeur 0*^,90 de chacun des angles 9 et 9.

Notre Table étant à deux arguments, et les intervalles se trouvant trop considérables pour qu'on puisse, dans l'interpolation,

3oO LIVRE VI. — CHAP. IV, § X.

négliger les cliflerences secondes, nous allons indiquer en quelques mots comment on doit y avoir égard.

Soit u=f[(p,6) une fonction de deux variables, dont on possède une Table construite pour des intervalles constants des valeurs de chacune des variables. Pour simplifier les calculs, nous prendrons ces deux intervalles pour les unités auxquelles les variables respectives seront rapportées. Dans le cas actuel, Tunité à laquelle seront rapportés les angles cp et 6 sera le dixième du quadrant.

Proposons-nous de calculer, au moyen de cette Table, la valeur de

Ço et 00 étant les valeurs tabulaires les plus voisines des valeurs cj» et 0, de sorte que h ci g soient des nombres moindres que l'unité. En développant, par le théorème de Taylor, l'expression de u, et négligeant les puissances et les produits des accroissements /i, g^ d'ordres supérieurs au second, on aurait une expression de la forme

En donnant tour à tour aux accroissements A, g les valeurs o, i, 2, et désignant par Umn la valeur que prend f^pour h=m et g = n^ on pourra déterminer les coefficients a, al y a,, ... au moyen de i/^o et des différences du premier et du second ordre de la fonction u^ relatives à cette valeur.

En désignant par ^ç, ^^^ les différences première et seconde relatives à la seule variation de y, par Aa« la différence seconde relative à la variation de ç et de 0, et ainsi de suite, on trouvera, pour valeurs des coefficients,

et, par conséquent,

TABLKS DK FONCTIONS ELLIPTIQt' KS.

3oi

Pour résoudre le problème inverse de calculer l'un des arguments, connaissant l'autre et la valeur correspondante de la fonction, on se servira de la même équation, dont on pourra obtenir la solution par approximations successives.

Exemples, — I. Calculer F(cf ) pour cy = o**, 7444 et ô = 0*^,6778. En prenant Ço = o*ï, 7, ôo = 0*^,6, on formera le Tableau suivant des valeurs tabulaires de F(f ) et de leurs différences :

i,3ii8 1,3664 I , 5886

Diflf. 1

res

DiflF. 2- ^ = 178, A . = 404, A^ = 3

ff^.n •

A^ corrig;é. . . .

a6ag