MÉTHODE DES QUATERNIONS
Par C.-A. LAISANT,
Député, Docteur es Sciences, Ancien élère de l'ËcoIe Polytechnique.
Un volume iN-8, avec figures dans le texte. — Prix : 6 fr.
La première idée de cet Ouvrage remonte à la (in de 1877, époque où TÂuteur soutint devant la Faculté des Sciences de Paris une Thèse sur les Applications mécaniques du calcul des quaternions. Il se proposa dès lors de composer, sous une forme élémentaire et sommaire, un exposé de la méthode dont il venait de donner des applications à la Mécanique analytique; c'est cet exposé qu'il publie aujourd hui.
L'Ouvrage publié à Londres en 1873 par MM. Kelland et Tait, sous le litre à' Introduction ta quaternions, a servi de modèle à celui-ci, non sans de nombreuses modifications, surtout en ce qui touche les notations.
Il peut être utile de donner ici quelques idées très générales sur l'esprit de la remarquable méthode d'Hamilton.
La signification des signes -t- et — , s'appliquant au sens des longueurs
I)ortées sur une ligne droite indéfinie, est une des créations les plus roerveileuses du génie de Descartes; c'est la base fondamentale de la Géométrie analytique. Mais, sans se préoccuper de la question des axes coordonnés, et en s'en tenant aux relations entre longueurs portées sur une seule droite, on s'aperçoit que tous les faits géométriques qui s'accomplissent sur cette droite trouvent ainsi leur traduction dans l'algèbre des quantités positives et négatives.
On peut donc dire que le calcul de ces quantités, en mettant de côté tout ce qui concerne les imaginaires, c'est le calcul des faits géométriques sur une droite.
Cette première notion devait s'étendre.
Tout le monde sait aujourd'hui combien a été féconde au point de vue des résultats, en même temps que remarquable au point de vue philosophique, l'interprétation géométrique des imaginaires (la dernière à laquelle se soit
arrêté Cauchy), consistant à considérer x-^y ^— i ou x -\-yi comme représentant la droite qui part de lorigine pour aboutir au point dont les coordonnées sont :r et j.
On commence à connaitre aussi, môme en France, la méthode si remar-
quable de Géomélrie analytique plane due à M. G. Bellavitis et qu'on désigne sous le nom de Théorie des équipoltences.
Le calcul des équipollences, c'est-à-dire le calcul des quantités imaginaires, c'est le calcul des faits géométriques dans un plan.
Et comme les règles à appliquer sont précisément celles de l'Algèbre ordinaire, on voit avec quelle facilité se combinent, se transforment, se soumettent enfin à toutes les opérations les faits géométriques dont il s*aeit.
Il était naturel, dès lors, que l'on cherchât, par voie de généralisation, à étendre aux faits géométriques de l'espace d'aussi intéressants résultats. Des tentatives diverses furent faites longtemps dans cet ordre d'idées ; mais il était réservé au génie d'Hamilton de surmonter les grandes difficultés que présentait la question et de créer de toutes pièces une doctrine nouvelle, irréprochable au point de vue philosophique, féconde en résultats, et à laquelle il a donné le nom de Calcul des quaternions.
On peut dire, en résumé, que le calcul des quaternions, c'est l'algèbre des faits géométriques de l'espace.
Cette algèbre nouvelle présente des règles particulières (ainsi la multiplication n'y est pas commutative en général), et par conséquent des difficultés spéciales, inhérentes à Ja nature même des choses. Par contre, elle offre de grandes ressources, permet d'introduire beaucoup de concision dans les calculs, donne à certaines solutions un caractère intuitif, se prête enfin à des applications étendues et variées.
\J Introduction à la méthode des quaternions se divise comme il suit :
Le Chapitre I traite de l'addition et de la soustraction des vecteurs, et de leur multiplication par des quantités réelles. Il se termine par des considérations très simples sur les points moyens, ou centres de gravité.
Dans le Chapitre II, le plus important pour l'étude de la méthode, se trouvent traitées la multiplication et la division des vecteurs. C'est là que s'introduisent les éléments et les notations les plus essentiels. On remarquera surtout la démonstration de la propriété associative dans la multiplication.
Le Chapitre III renferme des applications des notions précédentes à la géométrie de la ligne droite et du plan, et le Chapitre IV, « la géométrie du cercle et de la sphère.
Le Chapitre V a pour objet une étude très élémentaire de la différentiation des quaternions.
Dans les Chapitres YI, VII, VIII, on applique la méthode à des questions concernant l'ellipse, l'hyperbole et la parabole.
On a groupé dans le Chapitre IX un certain nombre de formules, non encore étudiées dans ce qui précède, et dont l'usage est cependant d'une grande utilité dans les applications.
Le Chapitre X est consacré à l'étude des équations du premier degré. La théorie des fonctions vectorielles linéaires 4» et la remarquable méthode inventée par Hamilton pour en effectuer l'inversion constituent certainement l'une des parties les plus intéressantes du Calcul des quaternions.
Enfin, dans le Chapitre XI et dernier se trouvent queJques notions générales sur la géométrie des surfaces du second ordre.
L'Ouvrage contient un assez grand nombre d'exercices, intercalés dans le texte avec un numérotage distinct. De plus, à la suite de chaque Chapitre se trouvent des énoncés proposés au lecteur comme exercices.
Une table analytique est aestinée à faciliter la lecture de ce Volume, qui contient aussi une Notice bibliographique sur les quaternions, et qui est appelé , croyons-nous , à répandre dans le public mathématique français l'étude de la méthode d'Hamilton, si cultivée dans plusieurs autres pays, et principalement en Angleterre.
TABLE DES MATIÈRES
Prépaci:. — Note bibliographique. — Table des matières.
CHAPITRE PREMIER. — Addition et socstractiox des vecteurs. — Vecteurs. — Définilions. — Notations. — Vecteurs de sens contraires. — Addition et soustraction de vecteurs parallèles. — Multiplication par des quantités algébriques. — Vecteurs unitaires. — Addition et soustraction de vecteurs quelconques. — Exercices (1 à 6). — Polygones fermés. — Vecteurs coplanaires. — Points en ligne droite.
— Points coplanaires. — Exercices (7 à 9). — Vecteurs moyens. — Points moyens.
— Exercices (10, 11). — Exercices proposés.
CHAPITRE II. — Multiplication et division des vecteurs. — Biradiales. — Définitions et notations. — Addition et soustraction des biradiales. — Multiplication des biradiales. — Division des biradiales. — Unités rectangulaires. — Propriétés fondamentales. — Représentation analytique des biradiales. — Quaternions. — Propriétés de la multiplication des biradiales. — Produits de deux vecteurs. — Quotients de deux vecteurs. — Exercices (12 à 15). — Relations entre les parties constituantes d'un quaternion. — Nouvelle notation d'un verseur. — Vecteurs, verseurs et quaternions réciproques. — Exercices ( IG, 17). — Produits de plusieurs facteurs. — Exercices (18 à 20). — Expression géométrique de 6 abc. — Interprétation de U^UabIIbc). — Relations avec les coordonnées cartésiennes. — Exercice (21). — Exercices proposés.
CHAPITRE III. — La ligne droite et le plan. — Équation de la ligne droite.
— Équation da plan. — Perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite ou sur un plan. — Perpendiculaire commune à deux droites. — Intersection de deux plans. — Exercices (22 à 27). — Exercices proposés.
CHAPITRE IV. — Le cercle et la sphère. — Équations de la circonférence et de la sphère. — Tangente et plan tangent. — Exercices (28 à 33). — Polaires. — Exercices (34 à 39). — Exercices proposés.
CHAPITRE V. — DiFFÉRENTiATiON DES QUATERNIONS. — Différentielles de fonctions de quaternions. — Différentielle d'une somme. — Différentielle d'une fonction composée. — Autres propriétés de l'opération d. — Exercices (40 à 46). — Difl*érentiations successives. — Cas des variables réelles. — Fonctions réelles. — Définition de l'opérateur v« — Différentiation des fonctions implicites. — Exercices proposés.
CHAPITRE VI. — L'ellipse. — Équations de l'ellipse. — Tangente à l'ellipse. — Examen de quelques fonctions analogues à ^. — Tangente par un point extérieur.
— Diamètres. — Diamètres conjugués; cordes supplémentaires. — Théorèmes d'Apollonius. — Exercices (47 à 52). — Exercices proposés.
CHAPITRE VII. — L'hyperbole. — Équation de l'hyperbole. — Tangente à l'hyperbole. — Diamètres. — Hyperbole conjuguée. — Asymptotes, — Théorèmes d'Apollonius. — Forme vectorielle des équations. — Exercices (53 à 59). — Exercices proposés.
CHAPITRE VIII. — La parabole. — Équation de la parabole. --- Tangente et normale. — Diamètres. — Forme vectorielle des équations. — Exercices (60 à 68).
— Exercices proposés.
CHAPITRE IX. — Formules. — Produits de deux facteurs. — ProduiU de trois vecteurs. — Produits de quatre vecteurs. — Décomposition d'un vecteur suivant trois directions. — Produits de plusieurs vecteurs. — Rotations. — Exercices (09 à 74). — Exercices proposes.
CHAPITRE X. — Equations du premier degré. — Equation générale du premier degré. — Principales propriétés des fonctions ^; fonctions conjuguées. — Inversion de la fonction ♦. — - Première méthode. — Exercice (75). — Inversion de la fonction ♦. — Méthode d'Hamilton. — Directions principales. — Exercices (76 à 79j. — Exercices proposés.
CHAPITRE XI. — Les surfaces du second ordre. — Équation générale des surfaces du second ordre. — Équation d'une surface à centre unique, rapportée à son centre. — Plan tangent. — Plans diamétraux et diamètres. — Nouvelle forme de l'équation de l'ellipsoïde. — Axes de l'ellipsoïde. — Sections planes. — Génératrices rectilignes. — Exercices (80 à 90). — Exercices proposes.
Table analytique.
