DÈVELOPPEMVNT D*UNE FONCTION AYANT DES INFINIS

avons vu [1131],

: I /{z]dz = an i=: — 5 L L

y^^^^-'UVic-^^]

Donc, sif[z) est une fonction uniforme dans le voisinage du point de discontinuité c, et que — n soit V indice de la fonction en ce point, le résidu de la fonction relatif au point c sera donné par la formule

\ f[z)dz=i\\m-^ — ^ \, ^•

1159. Soity*(j:) une fonction finie et continue en tout point du plan situé à distance finie de Torigine ou, si nous employons la représentation sur la sphère [1111], en tout point de la sphère autre que le point O'. Partageons la sphère en deux calottes ;2l, 3', dont i*une contienne O et Tautre O', et transportons les points de la calotte inférieure ^' sur le plan antipode.

La fonction y(^) = /'( -y j =^(3') sera finie et continue pour

toute valeur de ^, excepté ^ =r o. Soit — n l'indice de cette fonction pour z'= o. On pourra, d'après ce que nous avons vu, développer la fonction z''*ff[z!)y uniforme et continue dans toute rétendue de l'aire J2l', en série ordonnée suivant les puissances positives de ^, et poser

ûfl^tant une fonction finie et continue dans toute l'étendue de l'aire X. Donc

d'où, en remplaçant z' par -> 9(2') P^^ f{^)9

£l^=f{z)— (ao^"-+-<I|^''-*^-...-^«rt-|^), formule vraie dans toute l'étendue de l'aire 3i'.

3oo LIVRE VI. — GH^P. 1, § VII.

Or la fonction £2;, est finie et continue sur toute la calotte 2f; elle Test évidemment aussi sur toute la calotte 3i. Donc elle Test sur toute la sphère, et, par conséquent [1137], elle se réduitàune constante a„. On a donc

Donc une fonction uniforme qui ne devient infinie que pour z i/ifini et qui pour toute autre valeur de z reste finie et continue est une fonction rationnelle et entière de Zy dont le degré est égal à l'indice du point z = co ,

1160. Supposons maintenant que la fonctiony*(z) ait des infinis C| , Cî, ..', cjs autres que le point de Tinfini O'. Partageons, comme précédemment, la sphère en deux calottes, contenant l'une tous les points c, Tautre.le point O^, qu'il soit ou non un infini.

Suivant ce qui a été établi [1157], la fonction pourra se mettre sous la forme

/ii, /i2, . , . , /ijt étant les indices des points C|, C2, . . . ^ ca, de sorte que la fonction

sera uniforme et continue dans toute l'étendue de la calotte supérieure.

Elle sera également uniforme et continue en tout point de la calotte inférieure, excepté peut-être au point O'. Donc, d'après le numéro précédent, cette quantité F (z) sera une fonction rationnelle et entière de z, d'un degré n marqué par son indice au point O', et par suite de la forme

Oni" -h a«-i «'""* -4- . . . -h ûo- Donc la fonction proposéey*(z) sera delà forme

le numérateur se réduisant à une constante, si la fonction F( z) est finie en O'.

DÉVELOPPEMENT D'UNE PONCTION AYANT DBS INFINIS. 3oi

Donc toute fonction uniforme et continue dans toute l'étendue de la sphère, à l'exception d 'un nombre limité d 'infinis de première espèce, est une fonction rationnelle,

1161 • Soient C|, C2, . . ., c^ tous les points où la fonction y*(z) devient nulle ou infinie sur le plan horizontal ; /i| , Hs, • • • 9 /za leurs indices, positifs ou négatifs. La fonction

(«-C,)''.(2-C,)"....(3-Cx.)".

ne pourra devenir nulle ou infinie en aucun point du plan. Donc elle se réduira à une constante A [1137], et, par conséquent,

f[z]=:k[z^C,Y^[z-C^Yt...[z-CkY..

Donc une fonction uniforme et continue dans toute l'étendue de la sphère, à l'exception d'un nombre limité d'infinis de première espèce, est connue, à un facteur constant près, dès que l'on donne ses zéros et ses infinis avec leurs indices respectifs.

de Tindice d'une fonction sons la forme d'un résidn.

1162. Soil f[z) une fonction uniforme; continue et différente de zéro en tout point de Taire ^^ excepté au point c.

Si m est l'indice àef{z) au point c, et que Ton mette y(^) sous la forme [1153]

la fonction g et sa valeur réciproque - seront Tune et l'autre uniformes et continues en tout point de l'aire ^. Il en sera de même de la dérivée ^{z) et du rapport -• Donc l'intégrale

prise autour d'une aire qui ne renferme aucun zéro ni aucuu infini de la fonction à intégrer, sera nulle. En remplaçant maintenant

3oa LIVRE VI. — CUAP. I, § TH.

g- (z) par sa valeur (--^-^p;' on a

c'est-à-dire

Or rinlégrale i —3- a pour valeur aTrt . Donc la formule précé-

dente donne

^^^Tif ^^^Jcf '^^' Je

Donc l'indice d ' une Jonction f en un point c est égal au résidu

de la dérivée logarithmique de cette Jonction, ' ' = DxlogJ{z)y relatif au point c.

1163. Si, au lieu d^un seul zéro ou infini c, Taire ^ en contient plusieurs C|, Co, .... la somme algébrique des indices de la foncliony(z) en ces points sera égale à la somme des résidus de la

fonction -r~-r relatifs à ces mêmes points, c'est-à-dire [H32] au

résidu intégral de cette même fonction relatif à l'aire ^. On a donc, pour la valeur de cette somme d'indices,

/Wi -^ W2 -H • . . = — : /

27rl J3

Cette somme, dans laquelle on peut comprendre tous les indices, égaux à zéro, des points de l'aire 3i qui ne sont ni des zéros, ni des infinis de/(z), s'appelle Vindice intégral de la fonctiony(r) relatif à l'aire 7i,

1164. Si c est une racine multiple de l'une des deux équations l'indice m de la fonction y(z) au point c représentera le degré de

INDICE d'une ponction. 3o3

multiplicité de cette racine, pris positivement ou négativement,

suivant celle des deux équations à laquelle appartiendra la racine.

En comptant donc une racine pour autant d*unités, positives ou

négatives, qu'il y en a dans son degré de multiplicité, on voit que

rindice intégral

relatif à Taire 3i représente l'excès du nombre des racines de l'équation y( 3 )== o comprises dans Taire ^H sur le nombre des racines de Téquationy*(^) = oo comprises dans la même aire, en d'autres termes, Texcès du nombre des zéros sur le nombre des infinis de la fonction y*(z) dans l'intérieur de Taire 3.

1165. Si Ton suppose que Taire :2l contienne un certain nombre de zéros et d'infinis c^c^j ... de la fonction f{z)y dont les indices respectifs soient /i|, /I27 • • • ? et que Ton applique à la fonction la transformation par rayons réciproques du n^ 1114, Taire Z', qui a pour contour la courbe transformée du contour de 3, contiendra

tous les autres zéros et infinis de^l -y\ =J'[z) (y compris, s'il y

a lieu, V= o ou z = 00 ), c, , c^, . . ., d'indices respectifs n\ , /i'^,

Les indices intégraux des aires 3i et ^' ont pour valeurs

Mais, l'argument de z'= -e~'^ étant de signe contraire à l'argument de z, z' parcourra le contour de 7! dans le sens rétrograde, tandis que z parcourra celui de 3 dans le sens direct. Donc les

deux intégrales 1 -79 / -^ sont égales et de signes contraires, et

•/a / Jtc f

leur somme est nulle, c'est-à-dire que Ton a

Donc, sif(^z) est une fonction uniforme dans toute l'étendue , du plan, la somme des indices de la fonction pour tous les points du plan est nulle.

3o4 LIVBE VI. ~ CHAP. I, § .VII.

En dVutres termes, le nombre total des zéros d' une fonction uniforme est égal au nombre total de ses infinis, en comptant cJiaque zéro ou chaque infini autant défais qu'il y a d'unités dans son indice»

H66. Considérons, par exemple, un polynôme du degré w. Pour ^ = 00 , le polynôme deviendra infiniment grand de l'ordre m, et il ne devient infîni pour aucune valeur finie de z, de sorte que, pour tous les points du plan situés à des distances finies de Torigine, les indices sont nuls ou positifs. La somme de ces indices positifs devant être m, le polynôme, égalé à zéro, admettra donc m racines, égales ou inégales, ce qui donne encore une démonstration du théorème fondamental de la théorie des équations.

TABLE DES MATIÈRES