VII

DÉVELOPPEMENT EN SÉKIE D^UNE FONCTION UNIFORME EN TOUT POINT d'uNE AIKE DONNÉE, A l'eXCEPTION d'uN NOMBRE

LIMITÉ d'infinis DE PREMIÈRE ESPÈCE.

1157. Soient C|, C2, • • • 1 ^a des points isolés, pris à Tintérieur de Taire ^21, et mi, m^» . • . > /n^ des indices positifs quelconques. La fonction

sera uniforme et continue en tout point de ;3( et ne s'annulera qu'aux points C| y Cj, . . . , ca. Elle n'aura donc aucun infini, mais seulement des zéros isolés en ces points c. Donc l'indice de cette fonction sera positif aux points c, nul dans tout le reste de l'aire. Si l'on pose

il est clair que G sera une fonction uniforme et continue dans toute l'aire ^, et qui ne s'annulera pas au point C|. Donc m^ sera l'indice de F au point Ci. Pareillement, 7712, . . . , m^ seront les indices de F aux autres points zéros c^, • . . , c^.

Soit maintenant y*=y*(z) une fonction quelconque, uniforme dans toute l'étendue de Zy et continue dans la même étendue, excepté aux k points C| , C2 , . . . , ^a? où elle devient infinie. Les indices de /en ces points seront des entiers négatifs

— «1, — «j, . . . , — /îjt.

En tout autre point de Z, l'indice de/* sera nul ou positif. Si l'on considère le produit

de la fonction y* par la fonction pré cédente F, ce produit sera uniforme et continu en tout point de Z autre que les points c. En un point c, l'indice de ce produit sera m — n] en tout autre point, l'indice de g sera égal à celui de y*, et par suite nul ou positif.

Si donc on prend les indices mi, m2, . . . , m^^ respectivement ^aux à /Zf,/Zs, . . ., rikt les indices du produit g aux points C|,

c^j . > . jCji seront tous nuls, et, partant, la fonction g sera finie et continue en ces points c, comme en tout autre point de Taire 3i.

Donc, si la Jonction J* est discontinue seulement aux points Cj, C2, . . . , Cjt, e£ que les indices correspondants à ces points soient — /ii , — /I2, . . . , — /lA, le produit

sera une fonction uniforme et continue dans V étendue entière de l'aire ^.

On pourra, par conséquent, développer cette fonction, par le théorème de Cauchy, dans Tintérieur d'un cercle tracé dans 3 autour d'un centre quelconque y, et Ton aura ainsi

en posant

On a, par conséquent, dans Tintérieur du même cercle,

1158. En particulier, s'il n'y a qu'un seul point c, en prenant ce point pour y, on aura

d'où l'on tire

On a ainsi le développement de la fonction y^(z) suivant les puissances entières, négatives et positives, de z — c.

On tire de là immédiatement l'expression du résidu de la fonction y(z) pour le point c. On a, en effet, d'après ce que nous