APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

DÉTERMIKATIOrf OU IVOMBRB DES RACINES d'uNR ÉQUATIO:^ COMPRISES DAMS UNE AIRE DONNÉE.

H67. Nous avons vu [1164] que, dans l'étendue d'une aireJ^I, l'excès M du nombre des zéros d'une fonction uniformey(z) sur le nombre de ses infinis est égal au résidu intégral de la fonction D« log/(^) relatif à l'aire 3, c'est-à-dire à l'intégrale

Désignons par la caractéristique À l'accroissement d'une fono-

H. — Cours de Cale, in/tntt., IV. I

a LIVftB VI. — CHAP. Il, § I.

tîon non uniforme, représentée par une intégrale, lorsque cette intégrale est prise tout le long du contour de 2i. D'après cela, en représentant par Zo la valeur de la variable z en un point du contour, par Zi la valeur de la variable au même point lorsqu'on a fait croître son argument de 2?:, de sorle que

*'0 '^9 **l- - fTC^' f

et par Fo, Fi les valeurs correspondantes de la fonction multiforme F[z)y on aura

On trouve ainsi, en particulier, et de plus

=^ A I0g3 =^ lltl.

Donc la valeur de l'indice intégral relatif à l'aire 3 pourra se

mettre sous la forme

Alog/

A log2

Cette expression de la différence entre les nombres de racines des équations

a reçu de Cauchy le nom de compteur logarithmique.

H68. Supposons, par exemple, queysoit un polynôme entier du degré /i,

Il est clair que l'équation y = oo ne peut avoir de racines finies. Donc la somme M ne contient aucun indice négatif, et, par suite, elle est égale au nombre des racines de l'équation ^=: o- Prenons

NOMBRE DES RACINES D'uNE EQUATION DANS UNE AIRE. 3

pour 3i un cercle aussi grand que l'on voudra. Nous aurons

log/= n logz 4- log ( ^0 -*- ; ) »

X désignant une quantité qui ne devient pas infinie pour z:=z ^ . Donc

A log/= /i A logs -4- A log f «0 4- - j

d'où

A log/

Alog(aoH-jj

A logz A logz

Or, pour z assez grand, le module de - devient inférieur à

celui de «o, d'où il résulte que logfaoH — ) reprend sa valeur

primitive, lorsque z a parcouru la circonférence entière (*).

A log ( «0 -+- 7 ) ^ -^ log«o~ o»

et, par conséquent,

A log/

A logz L^équation /= o a donc n racines. Ainsi nous obtenons encore

(M Soient, on effet, mod. - <^ i, - = re^f. r étant < i . On a ^ ' u u

A lo{j(tf -{- i*) = A log« -H A log ( I -r - j »