I -h /• co»/> = p eo9 j

Puisque r est < i, i H- r cosp sera toujours positif, ainsi que cos p. Donc l'argument f de 1 -4- - ne croit pas d'une circonférence, et par suite log | i ^ - j reprend sa valeur primitive, après que z a parcouru le contour de ^. Donc

Alogf 1-+- - j = o, et Alo{j(in-»') = A log«.

On peut donc, dans la somme n + t'y négliger, pour le calcul de Alog(u + (')i la partie 9 dont le module est moindre que celui de u,

4 LIVRE VI. •— CHAP. Il, § I.

une nouvelle démonstration du théorème fondamental de la théorie des équations.

1169. Ou peut énoncer d'une autre manière le théorème du nM165. Soit

] = u-^iv=:V^e'^,

a=RcosP, t'=:=R8inP, -=cotP.

Lorsque la variable z a fait le tour de Taire 3i, f{z) reprenant sa valeur, \o^f[z) a crû d'un multiple de 2 7ri, et nous avons vu que cet accroissement A logz est égal à a ir i multiplié par l'excès M du nombre des zéros sur le nombre des infinis.

Il s'ensuit de là que logy(j:)= logR -h iP croît de aMîri, et, par conséquent; l'argument P croit de a Mît.

Considérons maintenant (fig* 91) une droite indéfinie dans le*» deux, sens, mobile autour du centre du cercle sur lequel se mesurent les angles, et tournant dans un sens quelconque. Chaque

Fig. 91,

fois que l'une ou l'autre des directions de la droite passera par le point A, la droite ayant décrit un angle P = — h AlTT, la cotangente

de cet angle P, représentée par la ligne AC, s'annulera. De plus, elle s'annulera en passant d'une valeur positive à une valeiu* négative si à ce moment l'angle P va en croissant, et, au contraire, elle s'annulera en passant d'une valeur négative à une valeur positive si l'angle P va en décroissant.

Si à la fin du mouvement l'angle P a repris sa valeur primitive, la droite OC aura dû passer par le point A autant de fois en allant

NOMBRE DES RACINES d'uNE ÉQUATION DANS UNE AIRE. 5

de droite à gauche qu'en allant de gauche à droite. Si Tangle P a crû de ir, OC aura dû passer par A une fois de plus en allant de droite à gauche que de gauche à droite. Si Tangle P a crû de aMir, OC aura passé 2 M fois de plus par A de droite à gauche que de gauche à droite. Donc cotP se sera annulé a M fois de plus en passant du positif au négatif qu'en passant du négatif au positif. Donc, lorsque l'argument P Atf[z) croîtra de qMtt, la quantité

- = cotP s'annulera aM fois de plus en passant du positif au négatif

qu'en passant du négatif au positif.

Si donc on pose

et qu'en faisant parcourir à z le contour entier d'une aire Z on compte combien de/bis le rapport -s' annule en passant du positif

au négatif, et combien de fois il s'annule en passant du négatif au positif, l'excès du premier nombre de fois sur le second sera le double de l'excès du nombre des racines de U équation f[z) = o complaises dans l'aire 3i sur le nombre des racines de l'équation /'(z)= 00 comprises dans la même aire.

Si la fonction y(z) n'a aucun infini à l'intérieur de 3, l'excès en question sera précisément égal au double du nombre des racines de l'équationy(5)= o contenues dans 3.

1170. Soity en particulier, une fonction rationnelle et entière

Cette fonction ne deviendra pas infinie pour des valeurs finies de z. Prenons pour contour un cercle de rayon infiniment grand r. Le premier terme a^z'^ deviendra infiniment grand par rapport à la somme de tous les autres, et l'on pourra poser, e étant infiniment petit,

Soit maintenant

On aura, à des quantités près infiniment petites par rapport à celles que l'on conserve,

Il =z 'kr"' cos[mp -h ô), V =z )./^" sm[nip -+■ B),

d^où. à un infiniment petit près,

- = cot ( mp -h 0 ) .

Si maintenant z fait le tour du cercle, p croîtra de 2ïr, et nip -f- 0 de 2m7:, Donc coi[mp -+- 6) s'annulera am fois en passant du positif au négatif, sans jamais s'annuler en passant du négatif au positif. Donc l'équation y( z )=: o a 7n racines dans Tintérieur du cercle infini.

1171. Pour déterminer la différence v — v' entre le nombre de 1/

fois V que -> en s'annulant, passe du -h au — et le nombre de

fois v' qu'il passe du — au + tandis que z parcourt le contour de 2i, Sturm a fait connaître le procédé suivant, qui est une extension de celui qu'il avait donné pour le cas des racines réelles.

Prenons pour contour de 21 une ligne qui se compose de parties C, C, . . ., sur chacune desquelles x et y soient exprimés en fonctions rationnelles d'une troisième variable t. Pour chaque partie, M et ^^ seront exprimés également en fonctions rationnelles de f, de

sorte que le rapport - se changera dans le rapport ~ de deux fonctions entières de t. Le problème se ramènera alors à trouver la différence V — v' pour chacune des parties G du contour. La somme de toutes ces valeurs donnera le nombre a M.

Divisons maintenant U par V, puis V par le reste — V| de la première division, puis Vi par le reste — Va de la seconde division, et ainsi de suite ( * ). On finira par arriver à un reste constant — V/, ; car U et V, ne s'annulant pas à la fois sur le contour, n'ont pas de facteur commun. Soient maintenant, dans le sens des mouvements positifs, a et A les extrémités initiale et finale de la portion de contour G. Alors v — y' sera égal à l'excès du nombre des variations que la suite

( * ) Si U est de degré infériear à celui de V, le reste de la division de U par V sera U , et l'on prendra V, = — U.