II. Soit Téquation générale des coniques concentriques

On en lire

OÙ, en introduisant la sous-tangente relative à Taxe des jk> S)= xj', On a donc

r*=jS',-f-A, ou s;==j-^,

3o4 LIVBB IV. — CHAP. I, § II.

propriété commune à toutes les coniques, et qui sert à la construction de la tangente.

Réciproquement, de Téquation différentielle, mise sous la forme

^y^:> y ou -^ — — -A =o,

on tire, par l'intégration,

-log(/-j»)-i.loga«-hlog;-C;==o,

d^où Ton déduit Téquation primitive proposée. III. Soit l'équation générale

des paraboles tangentes aux deux axes coordonnés et ayant pour axe principal la bissectrice de l'angle de ces axes. On tire de cette

équation, en différentiant,

flr dr

si Ton chasse les dénominateurs, cette équation différentielle prend la forme

^ ^ VV* six)

Sous cette forme, on voit qu'on y satisfait, non-seulement en annulant le second facteur, ce qui donne l'intégrale générale, mais

encore en posant \]x^ = o, ce qui donne le système des axes coordonnés. Or, chacun de ces axes étant tangent à chaque parabole, leur système n'est autre chose que l'enveloppe de la série de paraboles ; il représente donc une solution singulière de l'équation différentielle.

790. Nousdémontrerons bientôt d'une manière rigoureusequ'une équation différentielle donnée a priori,

admet toujours une intégrale générale renfermant une constante arbitraire, c'est-à-dire qu'il existe une surface dont les tangentes

CONSTRUCTION d'uNE ÉQUATION DU PREMIER ORDRE. 3o5

à une même ligne de niveau quelconque satisfont toutes à cette équation.

Si Ton représente l'intégrale générale par une courbe, on peut dire que Féquation de cette courbe sera telle que, en disposant convenablement de la constante arbitraire qu'elle renferme, on pourra faire passer cette courbe par un point du plan désigné à volonté.

On peut donner comme il suit un premier aperçu de la démonstration de ce théorème. A Taide de l'équation différentielle, mise sous la forme

(l) rfj = y(x, j)r/.r,

construisons un polygone infinitésimal passant par un point donné {jCo,jo)y dont les côtés aient pour projections sur Taxe des x les valeurs successives de dx, savoir

(i*v^ — t-Cj — "^Oi ftjc^ — .îTj — '^ij • • • 1

et pour coefficients d'inclinaison les valeurs correspondantes de

La limite de ce polygone sera une courbe passant par le point arbitraire (^ojJTo)» ^^ \.e\\e que les coordonnées de chacun de ses points et le coefficient angulaire de la tangente correspondante satisfont à l'équation différentielle.

On peut encore, ce qui revient au même, construire une série de points ayant pour abscisses successives

et pour ordonnées correspondanles

En joignant ces points par un trait continu, on a le polygone infinitésimal de tout à l'heure.

791. On conçoit facilement la présence d'une constante arbitraire dans l'équation intégrale générale. En effet, l'équation diffé-

H. — Cours de Cale, infinie, II. 20

3o6 LIVRB IV« — GIIAP. 1, § II.

renlieile détermine une relation entre dy^ x, jy pour une valeur infiniment petite de dx. Dans cette relation unique entre trois quantités, rien ne détermine le valeur de j^, qui correspond à un j: donné, et à partir de laquelle Taccroissement de y doit se faire. Mais, cette valeur étant une fois choisie à volonté, les accroissements sont dès lors déterminés par Téquation, et par là même esl déterminée toute la suite des valeurs de^"^.