L'équation différentielle

détermine, en fonction àex eiàe y, non-seulement la dérivée première y y mais encore toutes les dérivées suivantes. Si l'on diflerentie, en effet, Téquation, ce qui donne j" en fonction de x, j , r'j puis qu'on remplace ^' par sa valeur tirée de Téquation (i), on aura pour j^^^ une expression de la forme

En traitant de môme cette dernière équation, et continuant ensuite de la même manière, on obtiendra successivement j''^,^'', ..., exprimées toutes en fonction de x et Aey,

793. Cela posé, Téquation différentielle fournit le moyen de développer l'intégrale générale par le théorème de Tajlor, en admettant que la variable reste renfermée dans des limites assez étroites pour que la série soit toujours convergente.

Soit, en effet, j'o la valeur arbitraire àey qui doit correspondre à la valeur x^ de Tabscisse à partir de laquelle on veut faire le développement. L'équation différentielle fera connaître [792] les valeurs

Jo' «^0» ^0» • ' •

de toutes les dérivées dej^ qui correspondent au point (xo,j'o)' On pourra donc développer en série la valeur de^', ce qui donnera

j'=j;4-'-î^(.r-a:o)-f-^(.r--.Xo)*+..., I I • <2

expression équivalente à l'équation différentielle donnée. En in te-

INTÉGRATION PAR LES SÉRIES. 3oy

grant celte série entre des limites pour lesquelles la convergence subsiste [357], et observant que j'' =j)'o pour x = Xq, il viendra

Réciproquement, on déduirait de cette dernière équation, par la différentiation [358], Téquation précédente, qui équivaut à Téquation différentielle proposée.

Exemple. — Soit l'équation

On en tire, par différentiation et élimination,

d'où, en supposant j =^yo pour x -^o, et substituant, dans la formule précédente,

Remarquons que Ton n'aurait pas eu plus de généralité en laissant quelconque la valeur initiale Xq de x qu'en la suppoisant, comme nous Tavons fait, égale à zéro. On aurait eu, en effet, dans ce cas,

a f.r — .ro ) a} f.r — .Tq )*

où j'o^"'*'* représente une constante arbitraire, ni plus ni moins que Jq dans la précédente valeur.

FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR AU PREMIER, PAR l'ÉLIMINATION DE PLUSIEURS CONSTANTES ARBI- TRAIRES.

794. Si une équation finie renferme deux paramètres arbitraires elle représentera deux séries de courbes, suivant que l'on considérera l'un ou l'autre de ces paramètres comme seul variable; et

3o8 LIVRE IV. — GHAP. I, § III.

Ton pourra former deux équations différentielles du premier ordre^ exprimant chacune une propriété commune à toutes les courbes de Tune ou de Tautre de ces séries, suivant qu'on éliminera Fud ou l'autre de ces paramètres entre l'équation donnée et sa différen. tielle immédiate.

Exemples, — I. De l'équation

on tire, en différentiant (ce qui élimine C), l'équation différentielle

qui exprime une propriété de la sous-normale relative à Taxe des x de la série de courbes dans laquelle 01 est variable et C constant. En éliminant C entre les deux équations précédentes, on a cette autre équation différentielle

qui exprime [789, II] une propriété de la sous-tangente relative à Taxe des j^ de la série de courbes dans laquelle C est variable et C constant.