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Or cette relation finie, sans constante arbitraire, déduite de l'équation différentielle et de l'intégrale générale qui lui est équivalente, doit être une identité ; car, sans cela, elle exprimerait une relation entre a: et j^ qui ne serait pas compatible avec une valeur arbitraire de y correspondante à une valeur donnée de jr, comme doit l'être l'équation intégrale générale dont l'équation (4) est la conséquence.

Remarquons, en passant, que ce que nous venons de dire s'applique à toute équation finie, sans constante arbitraire, déduite de l'intégrale générale. Ainsi, toute relation entre x et y seuls, sans constante arbitraire ^ déduite d'une équation F(a?, j, C) =0 renfermant une constante arbitraire^ doit nécessairement se réduire à une identité.

352 LIVRE IV. — GHAP. II, § Ilf.

830. Les deux membres de Téquation (4) étant donc identiquement égaux, désignons leur valeur commune par fx. Cette quantité fi sera une fonction de x et de y, inconnue tant que l'on ne connaîtra pas un moyen d^ntégrer Téquation différentielle, mais dont Texistence, du moins, est démontrée. On a, d'après cela,

Par conséquent, en multipliant par yi le premier membre de l'équation différentielle (a ), on le change en une différentielle exacte.

831. En développant la condition d'intégrabilité de l'expression

|ut(Mrfj:-+-Nrfy),

on obtient l'équation aux dérivées partielles

„()p ^df* (<m d^\

qui servirait à déterminer /!z, si l'on savait l'intégrer. Mais nous verrons plus tard que l'intégration de cette équation, dans le cas général, revient précisément au problème de l'intégi'ation de l'équation (a).

On peut cependant trouver p dans un grand nombre de cas particuliers, et la recherche du multiplicateur constitue la méthode la plus générale pour l'intégration des équations différentielles du premier ordre et du premier degré.

832. Si un multiplicateur /ui rend intégrable l'expression li.[^dx+ ^dy), qui devient ainsi égale à du, l'équation différentielle donnée ( a ) se trouvera alors équivalente à

■^du 1=0.

Elle sera donc vérifiée soit en posant du = o, ce qui donne Tin-

THÉORIE DU MULTIPLIGATEtR. 353

tégrale générale, soit en posant - = o, ce qui donne une intégrale

particulière, ou bien une solution singulière, ou une solution étrangère [781 ].

Exemples. — I. L'équation

admettant pour multiplicateur — » l'équation - == o donne xj =o, ce qui est un système de deux intégrales particulières qui se tirent

de l'intégrale générale - = C, en supposant tour à tour C = o et C = oo .