Nous avons vu que, lorsque la condition

ÔM dis

dy dx

est identiquement vérifiée, l'expression Mrfx -|- N^ est une différentielle exacte , et qu'alors l'intégrale de l'équation différentielle

(i) Mrfx-i- N^j- = o

est

/(M£/.r-f-NJ7)=:C.

Si la condition (i) n'est pas remplie, nous allons montrer qu'il existe toujours un multiplicateur fi, fonction de x et dey, tel que, en multipliant par ce facteur l'expression Mdx -h Ndj', le produit soit une différentielle exacte.

Nous avons déjà vu des exemples de l'existence de ce facteur dans les équations où les variables sont séparables, telles que les équations de la forme [813]

X,Y^Zr-!-XYi^r==o,

dont le premier membre devient une différentielle exacte lorsqu'on le multiplie par --^ •

Nous avons rencontré des équations dont le premier membre

admet plusieurs multiplicateurs différents. Ainsi le premier membre

de l'équation ^

j'dx — .vdj' =1 o

admet les multiplicateurs

— » -T» -i» etc., xj' .r* y^

THÉORIE DU MULTIPLICATEUR. 35l

qui donnent à ce premier membre les formes

</log-î — rf-» d'-t etc.

829. Pour prouver l'existence générale d'un multiplicateur pour toute expression telle que Mrfjr + Nrfj'-, nous nous appuierons sur le théorème, démontré dans le Chapitre précédent, § IV, que toute équation

(2) Mdlr-f-Nr/>-==ro

admet une intégrale générale renfermant une constante arbitraire C. Si Ton suppose cette intégrale résolue par rapport à C, elle sera de la forme

la fonction F(j:,j^) étant au moins susceptible d'une représentation géométrique [786].

dr .

Le -p tiré de l'équation donnée (2) doit être égal, en tout point

dy d'une quelconque des courbes (3), au ~ tiré de la différentiation

de l'équation (3), ce qui donne la relation

dF ^F