II. L'équation

peut s'écrire sous la forme

l,«,.,...|(Ç.l:).i,M.-N.,(i'-ïl)=o,

ou bien

(2)' i (Mx + Kj) rfloglarj) + 1 (Mx-Nj) dlog- ^ o.

Les fonctions Ma-I-N^, Ma* — Nj^, qui multiplient des différentielles exactes, ne peuvent être toutes les deux identiquement nulles, sans quoi M et N le seraient aussi. Examinons d'abord les cas où l'une des deux serait nulle.

i" Si Mj: -hNj^ est identiquement nul, le premier membre de Téquation se réduit à

d'où

\[Via -l^y]d\o^y

— -rflog-

Mx — Nj 2 ^y

Le second membre étant une différentielle exacte, le facteur

d'intégration de l'équation (2) sera donc =r- •

2® On verrait de même que, si lAx — Nj^ est identiquement

nul, le facteur d'intégration sera ~ --•

3** Supposons qu'aucune des deux quantités Mo: -h Nj-, Mx — Ny ne soit identiquement nulle, et divisons d'abord le premier membre de l'équation (2)' par Mo: -h Nj^. Il vient

Mdlr -4- N£(r I ,, / X I Mx — Nr ,, sn

---- -—^ = - dlos xj + - ^ dlog - = o.

Le premier membre sera une différentielle exacte si

Mj--i-n^ "x

en est une, et, par suite [7791, si — est une fonction de loe -

OU de -5 c'est-à-dire, si — est une fonction de ce rapport -• C'est

ce qui a lieu, en particulier, lorsque M et N sont des fonctions homogènes du même degré de x et de j. Ainsi, dans le cas d'une équation homogène, le facteur d'intégration est

à moins que Mo: -f- ^j ne soit identiquement nul, auquel cas nous

avons vu [i°] que le multiplicateur serait — -— •

4** Divisons l'équation (2)' par Mx — Nj-, ce qui donne

Le premier membre sera intégrable si -7- est une fonction

de xjy c'est-à-dire, si le rapport -rr-^ est une fonction de xj, condition qui est satisfaite si l'on suppose

Donc, dans cette hypothèse, le multiplicateur de l'équation (2)

sera

M* — Nj

sauf le cas de Mx — "Sy = o, dans lequel (2®) le multiplicateur

est —- .

Remarquons que, si l'on change j^ en -1 l'équation (2) devient

Mdir — N — = o,

où M et N sont remplacés par M' = M, N' = ^ • On a alors

358 LIVRB IV. — CHAP. Il, I III.

<ie sorle que le premier membre de Téquation transformée esl liomogène par rapport à x et à z, et Ton se trouve dans le cas traité au n^ 819. On a alors