II. Soit Téquation
( y -h -ry^ ]dx -^ [x — a*' j) dy- - o.
ni V T'y — ^ X Y
On a — ^ - = '-^ — -- : = une fonction de xy. Le multiplicateur
de Téquation est donc x{y -hxj^) — j" {x — ^'^J") = ^ «r^J *» ce qui change Téquation en
d^où Ton tire, en intégrant,
log-— :-C.
838. III. On peut chercher directement dans quels cas le multiplicateur sera une fonction homogène de x et àej^ ou bien une fonction de xj.
i^ SI l'on suppose ji homogène du degré zéro, îl sera de là forme
en posant ^ = -» d'où
dt t % — ~»
ox X
dt I
et l'équation aux dérivées partielles du n® 831 , à laquelle doit satisfaire la fonction yi, deviendra
d'où
€/logy(/;-f--p -J" x^dlzzzo.
Pour que cette équation subsiste, il faut que
\ dy dx
soit une fonction de t ou de -> c'est-à-dire une fonction homogène
du degré zéro, ce qui a lieu, en particulier, lorsque M et N sont deux fonctions homogènes de même degré.
Il y a exception dans le cas de M x -4- Nj = o.
2® Par un calcul semblable, on verra que, pour que le multiplicateur soit une fonction homogène de degré m,
il faudra que Ton ait
rflog, (,) 4- ^<^- '^^ rf* ^- o.
On en conclut que
\ox ox j
36o LIVRE IV. — GHAP. II, § III.
doit être une fonction homogène du degré zéro, ce qui a encore lieu lorsque M et N sont deux fonctions homogènes de même degré.
3^ On verra de même que le multiplicateur sera une fonction de xy si
dx àx est une fonction de xy, ce qui a lieu, en particulier, lorsqu^on a
839. IV. Appliquons la méthode du multiplicateur à Tintégration de Téquation
(i) aydx -{- bxdf zzijc^jr'^ [a'ydx-\- b'xdr]y
a, b, a'j V étant des constantes. Pour cela cherchons, pour chacun des deux membres, la forme la plus générale de son multiplicateur, et nous verrons ensuite s*il est possible de faire coïncider ces deux formes, ce qui donnera le multiplicateur de Téquation tout entière.
L'expression aydx-^-hxdj devient une différentielle exacte
lorsqu'on la multiplie par — 1 et l'équation ajdx -t- iorrfj^ = o
xy
a pour intégrale
log ( xf^y^ ) =1 const. y ou x^j*' = const.
Donc la forme la plus générale du multiplicateur de cette expression est [833]
— ^{x^yà),
xy ^^ /
On verrait de même que la formule la plus générale du multiplicateur du second membre de l'équation (i) est
1 ^ (^«yM.
Pour faire coïncider ces deux formules, il faut donc choisir
THÉORIE DU UULTIPLICATBUR. 36l
les fondions cp et ;( de manière que Ton ait
ou
Cherchons à déterminer ces fonctions, en les supposant égales respectivement à des puissances de degrés indéterminés r, s, ce qui donne
d'où
ar -f- m = /i'.ç, br ~h nz= f/s, a!n — h' m an — hm
ab' — a'b ab' — ab
sauf le cas où l'on aurait a : a'= i : 6', et dans lequel l'équation (i) s'intégrerait immédiatement. D'après cela, le multiplicateur de l'équation (i) sera
et, en faisant la multiplication, l'équation deviendra
^r-i^r-i l^axdx -{- bxdx) = .r«'*-»j^'-» [a^dx H- b'xdf),
d'où l'on tire, en intégrant,
840. V. Voici une autre méthode qui s'applique à l'équation précédente et à un grand nombre d'autres.
Considérons l'équation
}lLdjp -f- l^dy = 9dx + Q//r»
et supposons que l'on sache déterminer les multiplicateurs |ui et v des deux membres de cette équs^tion, ce qui est possible toutes les fois que l'on sait intégrer séparément les deux équations
Méir-hNflîr— o» Pdlr-hQrfjzz: o.
Soit alors
f*(Mdir -h "Sdx) = duy v(Pd:r -f- Qd[r) = dv.
36a LiVBB IV. — CHAP. II, § m.
Téquation proposée deviendra
du =r. i- dv, ou 'J€lu — udt> —z o,
et, si Ton exprime x eij en fonction de u et de t^, on obtiendra, par la substitution de ces valeurs dans il et dans y, une équation diflerentielle entre u et i' qui pourra rentrer dans un des cas que Ton sait intégrer.
Exemples. — i° Appliquons cette méthode à Téquation du numéro précédent. On a dans ce cas
et, en représentant les différentielles
€lu dv
par - -1 » on aura
L'équation différentielle devient alors
du a dv ,„ „ dv
Or, en résolvant les équations
a logo: — ô logj - l^gw, a' logx -r- b' log^- --: logi', il vient
d'où, en faisant, pour abréger,
«'« — A'/w an — bm
^ '^' ™^7» ' ^ ~~ ab' -^a'b'
on tire
log [x"^y" ] — — r logw -l- s log*', x'"^" -^ «-'"i»',
et Téquation différentielle devient
TnÉORIB DU MULTIPLICATEUR. 363
dont Fintégrale est
— z= - -^Cy etc.
7? Soit Téquation
x'j* [dx — b€ly) '^a[xdx — 'T^dy) = o.
En multipliant respectivement les deux termes de cette équation
par
x*j * xjr
on obtient les diiTérentielles
d'où Ton tire
Hq dx dr du -:^ dx — b dy-y — = - - — — >
u :- X — fcr, j»=r — «
L'équation difTérentielle devient alors
f a dv -du A — j o,
c'est-à-dire
xydu -h «- - - - O.
Or on a
uv « „ , «*«'
r = , j ~ —, cl ou xy =
et Téquation difTérentielle devient
II' au H ^ — r dv = o,
d'où l'on lire
---hall' j — lah logf I - C, etc.
841. AI. L'équation que nous venons d'intégrer est un cas particulier de l'équation plus générale
M<ir -{-^dy -^^[yilx — xdy] =0, dans laquelle M et N sont deux fonctions homogènes du même
degré m, et P une fonction homogène du degré n. Si Ton fait
= .r>(Z), N^x«^(^^), P---+(J)» puis J-^
Toquation devient
x'"y(^)££r 4-.r'";^(/)(x//r-i- tdx) -f- j:*+* •]*(/) </r=:-- o, OU
équation de BernouUi [824], qui serait linéaire si Ton avait
mzri n -h 1.
En appliquant cette transformation au second exemple du numéro précédent, il vient
«*l*[r£r — btdjr — hxdi] ^- ax^di^ o,
OU
d.r hx a __^
ou enfin
dont rintégrale est
842. On peut ramener au cas que nous venons de traiter Téquation suivante, connue sous le nom adéquation de Jacohi :
[a -T- a'x -h (^y) {^^y — X^-^] — (^ + ^'^ -t- b''x)dx -h [c -h ex -f- cfjr)dx = u.
Il suffira, pour cela, de faire disparaître les termes constants dans les parenthèses et de ramener Téquation à la forme
(A'Ç -*- A%) (Ç^iî - Tsdi) - ;B'Ç + B^)* -h (C'Ç -H CU)di = o,
en posant
j'= ;-+-'» J=: vj -h S oc a
'-> - étant deux indéterminées. Si Ton substitue ces valeurs dans oc a
l'équation donnée, elle devient
(a'Ç-i-fl%)(Ç^iî--flé/5)
^% rfïî
a a. -4- fl'S -4- /i"y y
>; -f- ^ («'Ç -h a'n] — c'Ç — c% rfÇ
flra 4- a'P 4- «"7 j3 ^a -4- ^'|5 4- A"y
av. -f- «'/3 4- a^f 7 ca 4- c'jS 4- ^"7
En égalant à zéro les coefficients des deux dernières lignes, il vient
av. 4- cip 4- «"7 hv 4- ^'/3 4- h"y __ ca 4- c'^ 4- 0^7 « ~" p ^ 7
Si Ton représente par X la valeur commune de ces trois rapports, on aura les trois équations
[ci — >) a 4- a'P 4- a"v 0,
^«4.(^,'>)^6 4-rV — «1
ca 4- c'P 4- (c" — >) V — 0,
d'où l'on tire
(]ette équation étant résolue, on aura oLj ^,y par les proportions
dR dK dK
3G0 LIVRB IV. — CHAP. Il, § IV.
§ IV
