EL EL

/^^ ày ô.r __ ây Ôr

df df

Le cas où la valeur de r' annulerait à la fois -7- et -r- donnerait lieu à des remarques analogues à celles du numéro précédent.

Exemple, — Considérons Téquation différentielle

(6) (.r/-r)«-2a:j(i-Hy«)=o,

que Ton déduit de Téquation intégrale

traitée au n^ 588. En appliquant à Téquation (6) la règle donnée par la formule (3), il vient

ce qui donne d'abord la solution x = o, d'où j^^ = x , ce qui satisfait bien à l'équation (6). En égalant l'autre facteur à zéro, il vient

y= » d'où j (^ — .r)» m o.

On en tire d'abord la solution j = o, qui satisfait à l'équation différentielle. Quant à l'autre solution, savoir j^ — x= o, on voit aisément que la valeur qu'elle donne pour j<^ ne satisfait pas à l'équation (6). C'est donc une solution étrangère. Si l'on avait mis l'équation (6) sous la forme

H. - Court de Calcul in fin,, II. 25

on aurait

*^' ~ tir

valeur qui devient infinie pour x = a; etc.

857. Caractères distinctifs des solutions singulières et des intégrales particulières. — La distinction entre les solutions singulières et les intégrales particulières est facile quand on connaît Tintégrale générale. Soit, en effet,

l^intégrale générale, et soit donnée une relation sans constante arbitraire

satisfaisant à Téquation différentielle, c'esl-à-dire donnant, pour chaque point {x^y) de la courbe qu'elle représente, la même valeur dej^ que Téquation différentielle. Si (a) représente une intégrale particulière, il faudra que cette équation puisse se déduire de (i) en particularisant convenablement la constante C. Il de\Ta donc exister une valeur de G qui rende Téquation (1) identique avec (2). Il s'ensuit de là que, si entre les équations (i) et (2) on élimine une des variables x, j) , l'autre devra aussi disparaître, et l'équation résultante devra ne contenir plus que la seule inconnue C. Si l'autre variable ne disparaît pas, l'équation (2) représentera alors une solution singulière.

Ainsi, dans l'exemple du numéro précédent, la solution x = o, substituée dans l'intégrale générale (7), donne [y — C)2 = o, d'où l'on tire pour G une valeur variable. Donc x = o est une solution singulière.

858. Supposons maintenant que la solution proposée ait été déduite directement de l'équation différentielle. Si cette solution est une intégrale particulière, les valeurs de y"^ ^'", . . . que Ton en déduira par des différentiations successives devront être égales,