CARACTERES DES SOLUTIONS SINGULIÈRES

pour chaque point (x, y) de la courbe (2), aux valeurs obtenues de la même manière au moyen de l'équation dlfTérentielle. Si donc on vient à rencontrer une dérivée d'un certain ordre qui ait des valeurs différentes, suivant qu'on la déduit de la solution (a) ou de l'équation différentielle elle-même, cela prouvera que la courbe ( 2) ne fait pas partie de la série des enveloppées. Donc la solution (2) sera une solution singulière.

Exemple. — Soit l'équation différentielle

> — .rj rrz -~ — VI -h/*.

Si l'on pose, pour abréger, '— = u, et qu'entre l'équation

;i) jr — or/ z^ u V^ -4-\>'''

OU

( 2 ) (m* — j:' ) j'* -h 2.rj^j' -h w* — 7 * 1^0

et sa dérivée par rapport à j' on élimine j', il vient

.ry w* — r* . / „ « .V

- - — - = —i ou l/« «2 . .r2 - V* iz^ o,

tt* — x* j:j- ^ . / >

ce qui donne les deux solutions u = o et m- =x^-i-j-j c'csl-à-

dire

.r* -*- y* zji: o et -t* 4- .> * — - 4 «' •

L'une et l'autre de ces deux solutions donnent

doù

valeurs qui, substituées dans l'équation (i), y satisfont soit pour H = o, soit pour 11= 2. a.

La première de ces solutions donne, pour le rayon de courbure, p = G, la seconde p=2a. Cherchons maintenant la valeur de p qui résulte de l'intégrale générale.

L*équation (2) donne

en posant

Si Ton diiTérentie Téquation (2), on a

[(«« - X^ ) y -f- JTJ']/' -+- «a' ( , H- y« ) :zr o .

En remplaçant le multiplicateur dej^'' par sa valeur uR, lîrée de f 3 ), et remarquant que

, 'T-^ry I .r(tt*— - .r*— r*) -+- uyK R ur — xR

a a ur — x* a u- — .r*

UyJl-{-X^ =zY — xyz=z —-—-—-'

d'où

tt'r=- v'iH-y»,

et enfin que

[u^— x^]y -^xy=z «R, uViy" 4- m- (i + j'*)* = o,

il vient

ce qui donne , au signe près, en faisant abstraction de la solution uR = o, que nous venons d'examiner.

p=za.

Cette valeur n'étant pas la même que celles que donnaient les solutions u = o et R = o ou x^ 4-jK* = 4 ^^j <^^ ^^ conclut que ces deux dernières étaient des solutions singulières, et non des intégrales particulières.

C'est ce qu'on peut voir clairement en cherchant l'intégrale gé-

(') Les doux Yaleurs de y deTenant égales pour R= , on voit que R = peut donner une solution singulière [856].