DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE SUPÉRIEUR AU PREMIER

INTÉGRATION DE QUELQUES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'ordre SUPÉRIEUR AU PREMIER.

862. Nous traiterons d'abord quelques cas où l'intégration d'une équation différentielle d'ordre supérieur au premier peut s'effectuer complètement à l'aide des quadratures.

I. Considérons d'abord le cas où l'équation ne contient que la variable indépendante x, avec une seule dérivée d'ordre supérieur j^"^ de la fonction inconnue j% et supposons, en premier lieu, que cette équation soit résolue par rapport à j^"\ et de la forme

Si l'on désigne, pour abréger, par / f{x)dx'^ le résultat de n intégrations successives opérées sur la fonction J{x)y multipliée chaque fois par dxj on voit, en mettant les constantes arbitraires en évidence, que l'intégrale générale de l'équation (i) peut s'écrire sous la forme

( 2 ) y= \ A-^] ''•«" -^ Cl ■=^""* -*- c« •^""' -f- . . . -f- c„ .

Au lieu d'une intégrale d'ordre /î, on peut introduire dans l'expression (2) des intégrales du premier ordre. En effet, l'intégra-

3(jG LIVnE IV. — CBAP. III, § I.

lion par parties donne successivement

SSf[x)da:'' = xSf[x]dx -f.rf[x]dx

=: .r / f[x) (Ix — / xf[x) flfx 4- C J- -h C

= x I f[t)dt-~\ if{t)dt-^Cx-hC I (x-^t)/[t)dt-hCx-hC\

^ - [-^Vfi^) '^^^ -S^'A-^y^A - [xfxf[x)dx -fxV[x]da-]

^ ^~ '-/{ t]dt -r C .r» 4- C'.r 4- C".

En continuant ainsi, on voit que les résultats trouvés sont de la forme

(3) j/wrfx'.=£^l'':^/(.)rf.4-c..'.-.-....4-c,.

On démontrera la généralité de cette formule en difierentiant les deux membres de Téquation (3) par rapport à x, ce qui reproduira la formule analogue relative à l'indice n — i. Si celle-ci est supposée vérifiée, on en conclura réciproquement, par Tintégration, que l'équation (3) en est la conséquence, d'où il s'ensuit que la formule (3) est vraie pour toute valeur de l'indice n.

La formule (3) donne l'intégrale générale de l'équation (i) sous la forme d'une intégrale définie prise par rapport à un paramètre variable. Nous saisissons cette occasion pour faire remarquer cette forme d'intégrale, sur laquelle est fondée une méthode très-générale d'intégration des équations difi'érentielles.

Si l'on développe, dans le second membre de (3), l'expression [x — ')""', ce second membre se présente alors sous la forme d'une somme d'intégrales du premier ordre.