INTÉGRATION DES ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR
863. Indiquons quelques applicalions de la formule (3). I® Soity(j:) = e^, et posons Jé^x^^dx = i*;,. On trouvera successivement, d'après la formule (3),
SfCdx^ = e'-f- C.r 4- C = xjé='dx — Jxé'dxz=z xu^ — i/,,
r Vrfx*= e^-4- AC;c»-4- . . . -t- C^zrr -!- (jr'tfo— 3x«//, -4- 3.rtt,— «3-, / b 2. J
et ainsi de suite ; d'où l'on tirera Tune après l'autre les valeurs de iiKy Ui^ Uzt .... On a ainsi
I/o = É?' 4- C, ai = (x — ije^H-C, w, = (x« — 2JC -h 2) <?'-+- C", ....
2® En remplaçant; dans (3), f{x) par f^'^^{x), il vient [326 et 360]
ce qui nous donne immédiatement l'expression, déjà obtenue, du reste de la série de Taylor sous forme d'intégrale définie.
864. Si, au lieu d'être résolue par rapport à y^'^^ l'équation proposée était résolue par rapport à x, et de la forme
on en tirerait d'abord, en différentiant,
dx = ^\y^''^]dyW.
On a ensuite
d'où, en intégrant, De même,
et, en intégrant,
En continuant ainsi, on obtiendra la valeur de j', exprimée au moyen dej^"^ et de n constantes arbitraires. En éliminant j'^"^ de cette valeur au moyen de Téquation (4)^ on aura une relation entre x, y et n constantes arbitraires, qui sera Fintégrale générale de Téquation proposée.
865. II. Un second cas d'intégrabilité par les quadratures est celui où Téquation différentielle ne contient que deux dérivées d^ordres consécutifs, et où elle est, par conséquent, de la forme
Si Ton suppose d'abord Téquation résolue par rapport à la dérivée de Tordre le plus élevé, et mise sous la forme
on en tire, à cause de rf) f"~'^= 7 f«)rfjr,
\ I j.(«) /(.rc'-'))'
d'où
On est ainsi ramené à une équation de même forme que celle qui a été traitée dans le numéro précédent, et Ton en tire successivement
r rYin-'\)Jy{n-\)
et ainsi de suite, de sorte que Ton obtiendra finalement j^ en fonction de J^''■■*^ de j: et de n — i constantes arbitraires. L'élimination de j'^""'^ entre l'équation obtenue et l'équation (3) donnera une relation entre Xyj^ et n constantes arbitraires, qui sera l'intégrale générale de l'équation (i)j
INTEGRATION DES ÉQUATIONS d'oRDRB SUPERIEUR. 899
Exemple. — Trouver la courbe dont le rayon de courbure a une valeur constante donnée a.
L'équation différentielle du problème sera
d'où
dy' I ^
.,^ r aydy
Vi-+-/«
ce qui donne, en éliminant j ',
866. Supposons maintenant l'équation (i) résolue par rapport à la dérivée la moins élevée, et mise sous la forme
On en tire d'où
et par suite
On a ensuite d'où
puis, de même,
y(«-„ = r^.(»-., ^ = Jy, [^.(«) ) y'ijt^y/C" ^ ç^ ^
lï -|- Uj,
4oo LIVRE IV. — CHAP. III, J I.
(ît ainsi de suite, jusqu'à ce que Ton parvienne à une valeur de r exprimée au moyen de^^"\ de x et'de /i — i constantes arbitraires. En éliminant j^") à Taide de Téquation (5), on aura Téquation intégrale générale de (4)> entre a:, y et n constantes arbitraires.
867. III. Le troisième cas que nous étudierons est celui des équations qui ne renferment que deux dérivées dont les ordres diffèrent de deux unités, et qui sont, par suite, de la forme
Commençons par supposer l'équation résolue par rapport à la dérivée de l'ordre le plus élevé, et mise sous la forme
(i) r^^^^^/ljC^-'î;.
De l'égalité
on tire
ou, en mettant pour j^"^ sa valeur tirée de l'équation (i),
d'où Ton tire, en intégrant, puis extrayant la racine carrée,
équation de la forme j^""^^ ^=^f\ (/^""^O» ^^ dont on achèvera l'intégration comme au n° 865.
Exemple. — Soit l'équatioif On en tire
ydy=^d'ydy, d'où /=v^C«-aVi ensuite
C'= / ■ =-arcsm--f,
d'où, en écrivant C au lieu de - 9
7= G8ina(a: 4- C)
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS D ORDRE SUPERIEUR. 4oi
868. Si l'équation est résolue par rapport à la dérivée de Tordre le moins élevé, et de la forme
on aura, en différentiant, et remarquant que Ton a, d'après (a),
d'où
et, à partir de là, on retombe dans le cas du n^866.
CAS d'abaissement de l'ordre d'une équation DIFFÉRENTIELLE.
869. 1. Equations dont le premier membre est une différentielle exacte. — Considérons d'abord un exemple particulier, et soit l'équation
j- -4- Sx/ -i- 27^ + (x* -+- ijr*y)y=o
ou
(r -i- 3 a:/ -h 2//» ) dx -h [x- -4- a/V) dy= o.
Cherchons si le premier membre ne serait pas la différentielle d'une certaine fonction u =J^{x, j, y') . La différentielle d'une telle fonction est de la forme
les termes non écrits étant de la forme dx(f[xyj'yj'). Donc le coefficient de dy dans l'équation proposée est la dérivée partielle de u par rapport ky. Soit M| l'intégrale de ce coefficient, prise en considérant j^ comme seule variable. Dans l'exemple actuel, cette intégrale est
wi =/ ( x^ -+• 2jr*y ) dy =1 x^x' -+- 7 VS
en n'y introduisant aucun terme indépendant àe y\ On aura
du,= [x^-\':tyy)dy-^yd[x^)-\-y^d[x^Y
H. -> Cours de Calcul itifin., U. 26
Il est clair que du — du^ ne contiendra plus aucun terme en dy, c'est-à-dire aucun terme dépendant de la différentielle seconde de j ; et comme du — dui est une différentielle exacte si du en est une, il faudra que cette expression soit la différentielle d'une fonction de x et de y^ ne renfermant, par conséquent, j' ou djr et dj- qu'au premier degré. On trouve, en effet,
du — dui = (^ -f- 3jcy -\- %yf^ ) dx — 7.x y dx — '^yy'^ dx ~.ydx 4- xdy=::^d[xy]^
ce qui est une différentielle exacte. On a donc
tt = ttj 4- xj =: x^y -h j'y* H- xy =: const.y
et cette équation est une intégrale première de l'équation proposée.
En raisonnant de même sur le cas général, on arrive à la règle suivante pour reconnaître si une expression différentielle donnée est la différentielle exacte d'une certaine fonction u et pour obtenir en même temps cette fonction. Soit n l'ordre de cette expression différentielle. Il faudra d'abord que la plus haute dérivéej^^"^ ou la plus haute différentielle ^^"^ t/x = rfjf"~'^ n'y entre qu'au premier degré. On intégrera alors le coefficient de j^^"^ partiellement par rapport à j<^"~*^ c'est-à-dire comme si y^"""*^ était seule variable. Soit U| l'intégrale obtenue ; du — du^ ne contiendra plus de termes en j^^^'^ et se réduira à une expression différentielle où la plus haute différentielle sera ^f"**) dx = dj^^*^^K Cette expression devant être une différentielle exacte si du en est une, il faudra que^(/i-0 ou ^(«"ï^) n'y entre qu'au premier degré. On intégrera alors le coefficient dej^^""'^ partiellement par rapport àj^f"~*^, ce qui donnera l'intégrale Uj. Alors rfu — du^ — du% ne contiendra plus que des termes d'ordre n — 2 au plus, et devra être une différentielle exacte. En continuant ainsi, si la quantité proposée est une différentielle exacte, on devra parvenir, en dernier lieu, à une expression en x, y y dx, dy, qui soit une différentielle exacte, et que l'on intégrera comme on l'a vu, n^ 772 et suivants. La somme de toutes les intégrales partielles ainsi obtenues, U| H- 1/2+ • • •> sera l'intégrale de l'expression proposée.
En égalant cette dernière intégrale à une constante arbitraire, on aura une intégrale première de l'équation du = o, dont l'ordre se trouvera ainsi abaissé d'une unité.
ABAISSEMENT DE l'ORDRB DES ÉQUATIONS. 4o3
Si, dans le cours du calcul, on rencontrait un reste dans lequel la plus haute dérivée entrât à un degré supérieur au premier, la méthode cesserait d'être applicable et l'expression proposée ne serait pas une différentielle exacte.
870. II. Equations oh l'une des variables x, y vl entre pas explicitement. — SiTéquation ne contient pas j^ explicitement et est de la forme
en prenantj^' pour nouvelle fonction inconnue, Téquation deviendra
et ne sera plus que de Tordre n — i. L'intégration de cette équation conduira à une relation entre x^y' et zz — i constantes arbitraires, et cette relation elle-même s'intégrera par les quadratures, en la résolvant soit par rapport ky, soit par rapport à a: [84S].
Plus généralement, si l'équation proposée ne contient ni y ni aucune de ses/? — i premières dérivées, et qu'elle soît de la forme
/[r.j^^'Kx^p^'^ v(«);,z^o,
on la ramènera, en prenant j^^/'^ pour la fonction inconnue, aune équation de l'ordre n — p,
dont l'intégration conduira à une relation entre x, y^P^ et n — p constantes, arbitraires. On intégrera cette relation à l'aide des quadratures, d'après ce que nous avons vu aux n°* 862 et 864, ce qui complétera le nombre nécessaire n de constantes arbitraires.
Exemple. — Trouver la courbe dont le rayon de courbure soit égal à une fonction donnée X de l'abscisse x. On a l'équation
io4 LIVRE IV. — CUAP. III, § II.
qui peut s^écrire sous la forme on en tire
— -f- C zz: — .•^-. ,
OU, en désignant, pour abréger, par V le premier membre de celte équation,
V ,. . r Vdr
