QUI SE RAMENENT A CELLES-LA

889. Si, dans la transformation du n^ 881, on remplacerai par une exponentielle e''', où /* désigne une constante indéterminée, alors Dj.e^* = r".e^"^, de sorte que l'opération Dj équivaut à une

multiplication par r", et, par suite, ropération <f{^x) à une multiplication par le polynôme f (r). Donc, par la substitution

Téquation différentielle homogène

deviendra

ce que Ton peut représenter, sous une forme abrégée, par

Si l'équation

admet une racine constante ri , Téquation (2) sera évidemment vérifiée par la supposition Dx^ = o, z = C, et, par suite, l'équation (i) admettra l'intégrale particulière

Ainsi, lorsque l'équation (3) admet plusieurs racines constantes différentes Ti, Ts, ..., on obtiendra, pour l'équation différentielle (i), autant d'intégrales particulières distinctes

Exemple. — Si l'on propose l'équation différentielle

l'équation y(r) =0, qui lui correspond, sera

I — jcr-h [x — i) r* = o,

d'où l'on tire les racines r, = i, ro = • La racine i\ étant

constante, on en conclut que l'équation proposée admet l'intégrale particulière j^i = e^, à l'aide de laquelle on abaissera [881] l'équation proposée au premier ordre.

4a8 LIVRE IV. — CHAP. IV, I II.

890. Enayantégard àréquatîon (3), et posanlDxZ'=5, Téquatlon (2) prendra la forme

(4) x[^x)s = {bo -4- ^D,-h. . ..+ ^„-iDrM ^ = o.

et, si l'on fait maintenant s = e^-'tv, cette équation deviendi*a

(5) e>"[,ip)^^D.^...^^^-K-'y = o.

Lorsque Téquation

admet une racine constante pi, l'équation (5) sera vérifiée par w = Cy et Téquation (4) par s = C'ePi^. Donc Téquation proposée (i) sera vérifiée par j' = G'e(''i"**''i)^, c'est-à-dire pour r = J^^-hpi et z = C. Il faut donc que l'on ait y (r, -f- /?< ) == o, et, par suite, que r, -hp^ = r2 soît une seconde racine de l'équation (3).

Réciproquement, si 7*1 et r^ sont deux racines constantes de l'équation (3), /?« ==r2 — Tj devra être une racine de l'équation (6), et, par suite, e(''t~'"t^^ une solution de l'équation (5).

En continuant ainsi , odl abaissera successivement l'ordre de l'équation (i) jusque ce que l'on ait épuisé toutes les racines constantes de l'équation cf(r) =0.

Nous supposons ici que ces racines ri, r^, . . . soient des racines simples. Nous traiterons plus loin le cas où ces racines seraient multiples.

891. Si l'équation (i) est à coefficients constants, c'est-à-dire si

sont des constantes, alors Téquation (3) aura

a^ Un' a„

71 racines constantes Ti, r^, . .., r„, et, si ces n racines sont inégales, il en résultera n intégrales particulières distinctes

de l'équation proposée. L'intégrale générale de celle-ci sera donc [878]

(7) 7 = Cl <?'■.' -I- C, ffV -f- . . . 4- C„ e''-^.

Il est aisé de s'assurer que les intégrales j^,, j^2> •••O» sont réellement distinctes quand les racines Tj, Tj, ..., Vn sont inégales. Si nous formons, en effet, les équations (4) dun® 878, elles deviennent

ou, en posant, pour plus de simplicité, |, r= Ci e^^, ...,

j(«-t)=rJ-*Ç,^...+ r;;-iÇ„.

Le déterminant de ces équations

[130] n'est pas nul, puisque aucun de ses facteurs ne Test. Donc les intégrales particulières en question sont distinctes, et l'intégrale générale de l'équation est bien de la forme (7).

892. Pour obtenir la résolution complète des équations (8), considérons la fonction

et formons les coefficients du quotient de la division de <!({p) par p — r, ordonné suivant les puissances de p, savoir

436 LIVBB IV.' — GUAP. IV, § If.

On a, comme on peut s^en assurer en multipliant ces égalités respectivement par I, r, . . ., r""^, r«~*, et faisant la somme, Tidentité

Me) + '•f.(p) +. . • + '-'f»-.(p) + '-'?,{p) = tM^illl

Si l'on donne à r successivement les valeurs ri, r^, . ... r„, <f{r) s'annule, et Ton a

yi(p)-+-''i,?i(?)-+-... + ^r'?«(p)^ ^^''^

Si Ton ajoute maintenant ces égalités après les avoir multipliées respectivement par Ji, Çs» • • •> Iny et que Ton pose

les équations (5) donneront

d'où Ton tire

De cette identité il résulte que ^i, ^2, • • ^ En ^^^^ ^^^ numérateurs des fractions simples dans lesquelles se décompose la fonction rationnelle ?^. On a donc [412]

valeurs finies et déterminées, quand les racines /•<, 7*2, . . ., r„ sont inégales.

893. Si l'équation (3) a des racines complexes, l'intégrale (7) peut se ramener à la forme réelle. Considérons, en effet, deux

racines conjuguées

La partie de Tinlégrale (4) qui dépend de ces racines,

pourra s'écrire sous la forme

(Cl -f- C^)eP'co^qx -T- (Cl —• C,) ieP' ?mqx = eP'[C' cospx -^ C sinpx],

C et C^^ désignant de nouvelles constantes arbitraires.

Si l'on pose

C' = KcosL, C" = KsinL,

cette expression deviendra

Ktf/"cos(<7x— L),

K et L étant encore des constantes arbitraires.

Exemple. — Soit l'équation

L'équation en r correspondante, a2H-r- = o, a pour racines /•i = ai et To = — ai. Par suite, l'intégrale générale sera

j =1 de^-^'-r- Cjff-«^'=r C cosax -h C" sinax = K œs(ax — L).

894. Si l'équation (3) a /r racines égales Ti = 7*2 = . .. = /'a, l'expression (7) aura k de ses termes qui se confondront en un seul (C| H- C2 -f-. . .-h Ga) e''»^, et elle ne contiendra plus le nombre de constantes nécessaire pour représenter l'intégrale générale.

Mais, dans ce cas, la valeur r = r^ fait évanouir la fonction cp (r) et ses A' — i premières dérivées, et l'équation transformée (a) se réduit à

Cette équation est vérifiée [885] par

«(^•; — o, d'où « zr: c + C'x -4- . . . -f- Q^^'^)x^'\

et, par suite, la racine ri correspond à l'intégrale

j = (C + C'x + . . . -f- CC*-«)**-> ) e^',

qui contient le même nombre de constantes arbitraires et équivaut au même nombre d'intégrales particulières distinctes que le résultat fourni par les racines r^ ^2, ..., r^, si elles avaient été inégales.

895. On peut encore obtenir une autre forme remarquable des intégrales particulières distinctes fournies par une racine multiple de l'équation (3). Si, dans le premier membre de l'équation (i), on fait y = eT'j r désignant une quantité quelconque indépendante de Xy on aura Identiquement

En difierentlant cette Identité h — i fois de suite par rapport à /% il viendra

r(Dx)^ =««(x-4-D,)y(r).

?(D.)^-'?'-'(-^ + Dr)^-'?(r).

Si, pour r=ri, les h fonctions cp(r), ç'(/*), ..., ç<*-*Jr s^évanouissent, on voit que les seconds membres de toutes ces égalités se réduiront à zéro, et par suite, l'équation (i) sera vérifiée nonseulement par la valeur y^ == e'"»-^, mais encore par les A* — i premières dérivées de la valeur e^^ par rapport à r, dans lesquelles on fera ensuite r-=^r^^ c'est-à-dire que Ton aura, pour la racine ri, h intégrales particulières, en faisant r = ri dans les expressions

dr /)*—* r

jr — c , ^^ — jTff , . . . , ^^-i — -^ ^ •

896. On peut vérifier, comme au n^ 892, que les intégrales particulières obtenues par les formules précédentes, dans le cas où l'équation (3) a des racines multiples, sont bien réellement

distinctes entre elles, et arriver de même à la résolution des équations par rapport aux constantes arbitraires. Soit Ti une racine Ar-uple. Posons

Çi = (C -+- C'x -+-... -^ C(*-»)a^-* ) e'-x' = Xe''.',

d'où

en faisant Ja = -7- e^»*;

rf'X en faisant \z = -y~% ^**î ^*> ^'^ général,

OÙ

rfa:^

-'^Si -+-(Î)'-i-^5« -+--^(A-i.)''iÇA-'

'^"'^-^CT')'^"^'"^ ••■^(^-î)'^"'^'-

Les équations (8) seront alors remplacées par les suivantes :

j^»-«)= rj-» Ç. + /"" '^ ^-« Ç.+ ("" '^ r;-»Ç.+ • • • + ("I ;) '•r*Ç*+ 'KiÇ**. + • • • ■ H. — Court d» Calcul infin., II. 28

Or, en difTérentiant successivement k — i fois par rapport à i l'idenUté [892]

fiCcl + ^ftp) +••• + ''-•?-(?) = ^I^^^

et faisant chaque fois r = ri, il vient, à cause de

p — il

7?.(p)+ 7'-if.(p)+-+ -r-'^i'*fn-x{p)+ ——r:-*fnip)= rf^.

II I I l/'~Mj

— ?.(/>)+•••+ ^ ^ r'-'fn-x {?)

?fp)

Multipliant ces égalités respectivement par ^1,^2» •••» Ça, et les ajoutant aux égalités analogues, multipliées par Ç/.+n • • -^ ^1 vient, comme au n^ 892,

F(ri = y(p)f-^ + — ^.4-...4-p-^^,.H- -i^±l+.. V

d'où Ton conclut encore que Çi, ..., Ç^t, Ça+i, ... sont les numérateurs des fractions simples résultant de la décomposition de la

fraction

?tp)

897. On peut ramener au cas d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants certaines équations linéaires à coefficients variables, telles que Téquation

oLj ^y aQ, a^, .. ., an étant des constantes. Pour cela, nous remarquerons que, la différentielle de a + ^x étant constante en même temps que dx,. si Ton prend a -H Po? pour nouvelle ^'ariable indépendante, en posant

ÉQUATIONS DE LA FORME I^jfcO?*^*) = o. 435

d^y sera le même dans les deux systèmes de variables [303], de sorte qu'on aura

Donc l'équation pourra se ramener à la forme plus simple

(lo) ^oJ-i-^i^j'-+- a^x^jr"-^. . .-t-a„a:'*j('0 — o,

9 étant le signe d'une fonction rationnelle et entière.

Changeons maintenant de variable indépendante, en posant

jc r- e*^ d'où d.v = e^ cit.

On en tire [875]

et en général, en adoptant la notation r pour désigner la factorielle

on voit aisément que l'on aura ou

Désignons généralement par y (r) ce que devient ^la^^Tonction ç(r) lorsqu'on y remplace les puissances

respectivement par les factorielles

|J. Il l«

L'équation proposée deviendra

(la) y^(D,)j = o,

OU, en développant les facioriellesy et posant cy (/•) = *!*(/*),

équation à coeflicients constants, comme celles que nous venons de considérer dans les numéros précédents.

Si Ton désigne donc par /*i, /'o^ • • •; /*a les racines de l'équation <I> (/•) = o, supposées inégales, l'intégrale générale de l'équation ( 1 3) ou (il) sera

j = Cl tfV -f. . . .-+-C„e'Vr=C,a:''t-hC,J:'"t-f-. . .-f-C„ar'"-.

Si /'i est une racine d'ordre de multiplicité k, on remplacera les A" premiers termes de cette expression par

(C 4- CV 4- . . . 4- Cf ''-« V^-' ) tfV z= [C 4- CMogx + . . . ^- C(«- ' )(log:r)*--*]x'-. .

898. On aurait pu traiter directement l'équation (ii), sans changer de variable indépendante, en posant

d'où

Dix = (r^*'-* 4- 2r^''-*D^4- ^'•Di)3 = x'" (- 4- D,^ *5, et, en général,

en désignant par ( — H D^ ) ce que devient ( — h Dx) lorsqu'on

y remplace, après le développement, les puissances /•* de r par les factorielles correspondantes r~. Par conséquent,

x*» D2 7 = x'*( r 4- xDj.)^z,

I Mû

la puissance symbolique {r-hxDx) devant être développée avant que l'on exécute les opérations de différentiation. L'équation (ii) devient, d'après cela,

(l4) x'-y^(r4-a:Dx)z = 0,

ÉQUATIONS DE LA FORME 2<ljtX*j(^) = G. 487

el elle se réduit à Téquation 4>(r) == o, si Ton suppose z constant et Téquation 4>(r) = o susceptible d'une racine constante, comme cela a lieu dans le cas des coefficients ^o» a^^ ., ,^ an constants.

Dans le cas des racines égales, on diflerentierait par rapport à /*, comme au n^ 895, Tidentité résultant de la substitution j^' = x'*,

ce qui donnerait

Donc, si Ton a

o = *(/•,) =*'(n) —,. .= ♦(''-») (rj),

Téquation sera vérifiée par les valeurs que prennent, pour r^=i\j la fonction j^ = x^ et ses h — i premières dérivées par rapport à r.

899. Considérons encore Téquation (i4)* Remarquons que Ton peut développer la fonction cp (r -h J:^ Dx) par le théorème de Taylor, comme il est facile de le voir par des identités algébriques. On aura ainsi

En y changeant les puissances de r en factorielles, et désignant

par cp~(r) ce que devient cj»f*'(r) par ce changement, Téquation (i4) prendra la forme

[,l^(.)+ ?!ilL),.D.^...-H tî^:lx-Ds].=o.

Si, pour r = Ti, on a à la fois

(') On aurait pu se servir, au n* 889, de la formule analogue qui donne le déyeloppement de 9(/* + Djp), pour obtenir la formule (a) de ce numéro.

alors Téquation sera vérifiée par

Di^^ro, d'où 2 = C-l-C'x-+-...4-CC*->)ar*~\

et, par suite, la racine r^ donnera les k intégrales particulières en progression géométrique

On aura en même temps Téquation en z^^^ d'ordre n — k, à laquelle s'abaisse l'équation proposée,

laquelle est toujours de même forme que la proposée.