PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS LINEAIRES
Donc aussi Tintégrale générale de Téquation (A) peut toujours se mettre sous la forme
r ~ Ciri 4- Cl jTi + . . . -4- c„ jr« -4- Y,
J^o J^2> • • • étant des intégrales particulières de l'équation homogène, et Y une intégrale particulière de Téquation complète.
887. VIL Une équation linéaire sans second membre ne peut admettre de solution singulière ; car, si y\ est une solution quelconque de Téquation (i), en lui appliquant les calculs des numéros précédents, on la fera entrer dans une expression telle que (3) de l'intégrale générale, et cette expression se réduira à j^^, si l'on y suppose la constante C| = i et toutes les autres constantes = o. Donc la solution j*! est une intégrale particulière.
888. VIII. Nous venons de voir qu'une équation différentielle linéaire sans second membre présente avec une équation algébrique cette analogie , que son ordre peut s'abaisser de Xr unités lorsqu'on en connaît h intégrales particulières, de même que le degré d'une équation algébrique peut s'abaisser de h unités lorsqu'on en connaît h racines.
Là ne s'arrête pas l'analogie. Il est facile, par exemple, de trouver la composition des coefGcients /zq, ai, . . ., /i;, de Téquation différentielle linéaire (i) au moyen des n intégrales particulières distinctesj'i, y^^ ... , jO/«
Si l'on substitue, en effet, ces n intégrales successivement dans
Téquation (i), on obtient, pour déterminer les n inconnues — »
* , . . . , ?ilL, les n équations
^v.+ ^r;-4-...+ ^^r"-— rr.
T^ y » ^^ ZT J^n "r . . • -t- j n — J^ ♦
4a6 LIVRE IV. — CHAP. IV, § II.
d'où Ton tire, en conservant les notations du n^ 878, Remarquons que, pour k =zn — i . cette formule devient
^fi-t
c'est-à-dire [880, (ii)]
~R^^*=:D^R, d'où -"=i
d logR dx
On-\
Réciproquement, étant donné le coeflicient — "--» on en déduit
Vi = Ce
dx
Exemple. — Former une équation différentielle linéaire qui admette les intégrales particulières
Ji ^ ^» Ji ~ ^'
On tire de là
d'où
— ^re*.
Oj
L'équation cherchée sera donc
j- — xj' -4- ( J? — I ) y == o.
