De même, étant donnée l'équation

si X est composé de termes de la forme ax^, on posera j = zx^y d'où

si <f (X) n'est pas nul, on prendra r = 7., z constant, d'où

Si y~(X) est nul, en faisant (f (/•) = 4>(r) et x= e^, l'équation deviendra

et, si X est racine Ar-uple de 4>(r) = o, on trouvera, comme précédemment,

905. Si le second membre est un polynôme en :t: à exposants entiers, et que l'équation ait pour coefficients des fonctions entières de Xy on substituera à j^ un polynôme à coefScients indéterminés et de degré assez élevé pour que le nombre des coefficients suffise à l'identification des deux membres.

Ainsi, si les coefficients ao, ai, . . ., /i,, sont constants, et ao^o, X étant de la forme

on posera

y = Ao -»- A, X -f- . . . -1- Axx^,

d'où

v(D^)Y=2 OpP^Ap-hxS (/i + i)^«^Ap+,-f-...

+ ^^^ {p + ^)~«/. Ap+i,

ce qui donne, en identifiant avec le second membre, et remarquant

ÉQUATIONS LINÉAIBES COMPLÈTES. 443

que A^ = o pour p ^ ^,

ax i = «0 A>i -t- >i "«1 A\,

«0 =^^0^0 "i~ ^ tf 1 Al -f- . . . -f- 1 flfx Ax»

d'où Ton tire successivement A^, Ax«o . . ., A©.

Si les h premiers coefficients a^y a^, .,., a^^i sont nuls, on prendra pour Y un polynôme de degré X -4- A*, et Ton trouvera les équations

Li'

«x-i— (X-f- X-— i) aji. Ax+ji^i -h (^4-A:)'^~~A).^.A- »

les coefficients A©, ..., A^i pouvant être pris à volonté, par exemple égaux à zéro.

Si X contient des exposants non entiers, par exemple s'il y a un terme de la forme ax^, X étant fractionnaire ou incommensurable, on posera j^ = x^ X un polynôme entier, et Ton opérera comme précédemment.

906. On peut ainsi, dans certains cas, trouver une intégrale particulière de l'équation (i), lors même qu'on ne saurait pas trouver l'intégrale générale de l'équation (a). Soit, par exemple, l'équation

2^ -f- ( 5 -f- or) ^' -h X^-" z=i I -h X*.

En posant j^ = A© -f- A| x + A2 :c^ -f-. . ., et substituant cette valeur dans l'équation, on trouve, par l'identification des termes affectés des mêmes puissances de x dans les deux membres, les équations de condition

aAo-h 5Ai z= I, 3Ai-hi2Aj = o, 4^»=^'»

les coefficients A3, A4, ... étant nuls. On en tire

Ao=3, Ai = — I, Aj=-r» d'où Y = 3 — x -f- tx*.

444 LIVBB IV. — CHÀP. IV, i III.

907. Dans les cas'^où ces méthodes particulières ne sont pas applicables, on a recours à des méthodes générales, au moyen desquelles on peut, par de simples quadratures, déduire de l'intégrale générale de Téquation privée de second membre une intégrale particulière de Téquation complète.

I. Méthode de d'Alembert. — Nous avons vu [881] que, étant donnée Téquation

on peut, au moyen de h intégrales particulières de Téquation

abaisser Tordre de Téquation (i) de A unités. Si Ton connaît Tintégrale générale de Téquation (2), c'est-à-dire si l'on connaît les n intégrales particulières distinctes qui la composent, on pourra donc abaisser l'équation (i) au degré zéro, c'est-à-dire l'intégrer complètement.

Il suflira môme de connaître n — i intégrales particulières distinctes de l'équation (i)^ car on pourra alors abaisser son ordre à l'unité et la ramener à une équation de la forme

(Ao-^/l,D^)«' = X,

équation linéaire du premier ordre que nous savons intégrer [8âi ]. Exemple. — Soit l'équation

L'équation sans second membre correspondante sera

laquelle admet pour intégrales particulières [893]

jr^ '.=z cosa jT, ^, = sina^r.

Posons [883]

y = co^ax.fsdx^

d'où

y •=: — a ûnax.Jsdx -f- costfx.5,

y 1^ — à^cosax.fsdx — lasÀnax.s ^- cosax.s'.

L'équation deviendra

— 2asinax.s -i- ces a «.5'-- X.

De l'intégrale particulière /j on peut maintenant tirer une intégrale particulière de l'équation sans second membre

— lasïnax.s -h cosax.s' =^0^ savoir

Si — Djc^^ =zl>jç tang«x = — - — • ji * o cos'flx

On posera alors

s =z — - — / tdx^ d ou 5 = ... H ■ /,

cos'flo: cos'«j:

/=rX, /=-XC0Saar,

cos'aj: a

s= — — fK-cosaxcLc,

— ^ — flLcosaxcix cos^ax*^

y :=: cosâ:x

==:cosaj*l flLco^axdx ysin^x.X^iT j

= Cl sin fl X -h Cj cos ax-\ — (sin a xj\. cos axdx — cos a xfX smaxtlx) .

908. IL Méthode de Lagrange, ou méthode de la variation des constantes arbitraires. — Représentons par

(3) i; = 2C/ïî/, (/=:i, 2, . . ., /i)

l'intégrale générale de l'équation (2), et proposons-nous de représenter l'intégrale générale de l'équation (i) par une expression de même forme, en y remplaçant seulement les constantes Q par des fonctions ui de Xj convenablement choisies. L'expression ainsi obtenue,

(4) j- = 2tt/ïj/,

renferme n fonctions indéterminées u^j u^^ • • •, Uny assujetties à la seule condition que cette expression (4) satisfasse à l'équation (i). On pourra donc soumettre ces n fonctions an — i autres conditions arbitraires, qu'il conviendra de choisir de manière à

simplifier autant que possible les calculs. Pour cela, on fera en sorte que non-seulement j^, mais encore ses « -^ i premières dérivées soient de même forme que si U| , . . ., U/i étaient des constantes. Les n — I conditions en question s'obtiendront alors en égalant à zéro les parties des dérivées j^,j", . . ., ^^"""'^ qui proviendraient de la variation de Ui, 112, • . ., u„. On aura, de cette manière, les deux systèmes d'équations

2 tf/îî/ ,

2 Ui-nf

En substituant les valeurs (5) dans l'équation (i), et ayant égard à ce que les m satisfont à l'équation (a), il vient

et cette dernière équation, jointe aux équations (6), déterminera pour n\, u\, . . . , u'j des valeurs finies, puisque le déterminant

ÏJl

de ces équations n'est pas nul, la valeur (3) étant supposée l'intégrale générale de l'équation (a) [878].

Si l'on désigne par R; le déterminant mineur ^lu-u '* ^^^ équations (6) et (7) donneront

Rtt'^=:R/X, d'où Ui = Ci-\- j -^Xdx, {i = 1, a, . . , /i).

Donc rintégrale générale de Téquation (i) sera

et Ton reconnaît immédiatement qu'elle est de la forme (3) du no 884.

Exemples. — I. Nous avons déjà vu [822] Fapplication de cette méthode au cas particulier de Téquation linéaire du premier ordre.

II. Prenons le cas de Téquation à coefficients constants; en nous reportant aux notations précédentes, on voit que, si Téquationenr a ses racines inégales, le système des équations (6) et (7) ne sera autre chose que ce que deviennent les équations (8) du n** 891 lorsqu'on y remplace respectivement

par

e'i^ u\j c''«^ttj, . . ., e'*""*^!/',, 0,0, . . ., X.

On aura alors

F(p) = X, d'où e'i'Ui = -r^

L'intégrale générale de l'équation (i) sera donc

S'il y a une racine double, r^ = r^j soient «j, a^ les numérateurs des fractions simples provenant de la décomposition de — -r et

ayant pour dénominateurs p — r^ et (p — ''0'« O^^ trouvera, comme au n° 896,

( u\ -\-u\x) e'-. ' = ûJjX, u\ e^i' = a\ X, d'où

tt . = a, c~'^\'^ X , a'j = ( ûi — ût'j X ) e~^\^ X .

On verra de même, quel que soit le degré de multiplicité des racines, que le calcul se ramènera toujours à la décomposition

de — — r en fractions simples.

909. Si Ton connaît seulement h intégrales particulières r^y ^29 ' • »y'fikàe l'équation (a), posons alors

jrz=i^Uiiiiy (i = I, a, . . ., X).

On a ici k fonctions inconnues, devant satisfaire à une seule condition donnée, Téquation (i), et entre lesquelles on pourra, par conséquent, établir h — i relations arbitraires, que l'on choisira comme ci-dessus, en exprimant que les Ar — i premières dérivées de^ conservent la même forme que si U|, 1/2; . . . , Uj^ étaient des constantes. On aura ainsi

\ j('" = 2«,>î;"'-+- (n-it -4- i),2«'iiii"-"-1-. . .-H2«i-"-**"iîi'-".

[ o = lu\-nf'^\

En substituant les valeurs (9) dans l'équation (i), et ayant égard à l'équation (a); à laquelle satisfont lesYî,-, il vient

2«*+l>îï*"'

Si l'on fait maintenant

ÏJl

Pi

la résolution des équations (lo) donnera

^ = !^z= = '^ = i- Ri R, ■■' Ra '

i^ désignant la valeur commune inconnue de ces rapports égaux. Substituant les valeurs R/w des quantités u^ dans Téquation (ii), cette équation se changera en une équation linéaire en v d'ordre n — k et de même type que Féquation (i). Si Ton intègre complètement cette équation, on aura alors

d'où

910. III. Méthode de Caucliy, — Déterminons les constantes arbitraires C|, Cj, . . . , C;, que renferme l'intégrale générale n de Téquation sans second membre (2), de manière que, pour x= a, on ait les équations

(12) T3=0, >;'=0, ..., iî(''-5^=0, >;(«-»)=/;«),

y(«) étant ce que devient X=y{a:) lorsqu'on y remplace x par une variable a, indépendante de x. On obtiendra ainsi pour C|, • . . , C/i des valeurs en fonction de a, et l'on peut remarquer que, les équations {12) ne différant du système des équations (6) et (7) que par le changement de x en a, les valeurs de C| , . . . , C« seront les mêmes que celles que l'on a obtenues pour Uj, . . . , u\^j dans le n® 908, au changement près de x en a.

Substituant pour Cj, . . . , C/i ces valeurs daps l'expression de rintégrale générale y), on obtiendra une intégrale particulière >;, de Téquation (2), laquelle intégrale sera une fonction des deux variables indépendantes x et a. Cela posé, je dis que

sera une intégrale particulière de l'équation (i).

Eq effet, par la règle de la différentiation sous le signe y [470], on a

H. — Cours (le Cale, iiifm., II. 2g

45o LIVRE IV. — CHAP. IV, § III.

(>î«)«=r désignant ce que devient r,^ lorsqu'on y fait « =x. Or celte valeur est nulle, d'après la première des équations (la), qui exprime que Y7« est nul pour x = a, quel que soit a, et par suite aussi lorsque, après avoir fait x = a, on y remplace partout a par x. Donc

dx ~ J ôjc

On trouverait de même, en vertu des autres conditions (12),

En substituant dans le premier membre de l'équation (i) ces valeurs de Y et de ses dérivées, on trouve

Or la quantité entre parenthèses s'évanouit identiquement, puisque 7j. est une intégrale particulière de l'équation (2). Donc ce premier membre se réduit kf[x)y et, par suite, la valeur (i3) satisfait à l'équation (i), dont l'intégrale générale sera alors

r rzr ^ 4- Y.

911. Appliquons cette méthode à Téquation à coeflicients constants, dans le cas des racines inégales. On peut mettre son intégrale générale sous la forme

et alors les équations (19) deviendront

C| -H . . . •+• V*,, ::=^ Oy

Tj C<| -+- . . • -T* V/i v»/| O,

d'où l'on tirera, comme ci-dessus,

c - /(«) Donc

et, par suite,

^ -2 tS) /'--/(«)''-

ou, ce qui revient au même.

ce qui donne la même valeur dey qu'au n? 908.

En général, il est aisé de voir que la méthode de Caucliy ne diffère de celle de Lagrange que par l'exposition, et qu'elle conduit aux mêmes calculs.

Considérons, par exemple, l'équation

L'intégrale générale de l'équation sans second membre correspondante peut s'écrire ainsi :

r, = Cl cos« [.V — «) -h C2 sin« [.V — K ).

Les équations (12) deviennent donc

C, = 0, rtCj =/(«),

d'oii

r,^ z=: —^ — sina [j: — a .,

et, par suite.

Y =z - j f[ct)sma[.r — u) c/k,

ou, en développant,

cos/i.r r^^ . sin a.r ["^

« Jo " Jo

comme au n^ 907.

Si Ton suppose, en particulier, X = sin(^jc+ A), on aura

Y=z— j 8in{goi-k- h) sïn a[x — a] do.

= — I jco$[(^-}-a)a-l-/i — ax\ — ces [(5'— a)« H- /i -|-fljc]j</a

I Tsin ( ^.r -+- /i) -4- sin f« .r — h) sin f^r -h /i ) — sin Ui .r -4- /* )~|