La différence

MA-MP= !!r... (i-cosM-MA)r^i-^l^.i(!^y^-L^^^t;

cosM'MA^ ' cos-J-r/- 2\2/ 16

donc la différence entre la somme des tangentes et la corde

MAM' — MPM' = i d> <iT«

est du troisième ordre, et il en est de même, à plus forte raison , de la différence entre Tare et la corde.

On peut d*ailleurs calculer cette différence directement. On a, aux infiniment petits près du quatrième ordre,

arcMM

En prenant la différence entre ces deux valeurs, on a

corde M M

arc

— corde= -îr/iV' -^ /'* ( — ^— 7iV= "V dsd^-, 24 ^ •" \i-f-j'7 24

donc la différence entre Tare et la corde est le tiers de la différence entre la corde et la somme des tangentes menées à ses extrémités.

545. Soit M''(j: -h/i-H Ai,j'2) {fis* ^^) ^^ nouveau point de la courbe. Si Ton mène la corde M'M^', on aura

tangM'^M'^ = — ^- — '^ ^ =f[^ + /<) 4- « = j' -h «

=/'(x + h] + ^ [/" W + .] =/'{.r) + "tlLth (,» + .),

THéORàMBS DE GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. 37

d'où

tangM^M'M,= ^, = ^^^-^'—^, (n- •).

quantité égale à tangM^AT, lorsque A| est égal à h, ou infiniment peu différent de h, comme cela arrive lorsque la différentielle de x

Fig. 45.

est constante, ou qu'elle correspond à un accroissement constant d'une variable dont x est une fonction continue. Donc, lorsque h est constant ou varie d'une manière continue, l'angle de deux cordes consécutives, infiniment peu différentes entre elles, est égal à l'angle de contingence.

Autrement, on a

dZL^I=.d[x'-^s)^

d'où

a arc tong * — - — = ^-j—- = (i -f- « w/arc tangj',

Il I -+- \y -r- ly ^

c'est-à-dire = (i -h î)rfT.

546. Sens de la concavité d'une courbe. — Une courbe est dite concave vers le haut (ou coni^exe vers le bas) y lorsque, dans le voisinage du point considéré, elle est située au-dessus de la tangente en ce point. Elle est dite, au contraire, concave vers le bas (ou convexe vers le haut) y lorsqu'elle est située au-dessous de la tangente.

La courbe sera concave vers le haut si, pour une abscisse x+h infiniment voisine de l'abscisse x du point de contact, l'ordonnée Y de la courbe est algébriquement plus grande que l'ordonnée m de

38 LIVBB III.— CHÀP. I, § III.

la tangente. Or on a, pour Tabscisse j: + A,

d'où Ton tire

quantité qui, pour h assez petit et ^ '^ différent de zéro, sera de même signe que j"; donc, pour ')">o, la courbe est concave vers le haut. Au contraire, pour^"<^o, la courbe sera concave vers le bas.

547. On peut estimer de la même manière le sens de la concavité par rapport à la direction des abscisses positives. Si

est positif, la courbe tournera sa concavité du côté des x positifs ou vers la droite; si x"<^Oy la courbe sera concave vers la gauche. Remarquons que la quantité x" est de même signe que

ou encore de même signe que — — ,-•

548. Si ^ " est de même signe que y y ou si Ton a yj "]> o, la courbe sera com^exe vers l'axe des x. Si jy" <^Oj elle sera concave vers Vaxe des x.

De même, elle sera coni^exe ou concave vers l'axe desy, suivant que xx^' sera positif ou négatif.

Exemple. — Considérons la cycloïde allongée ou raccourcie, représentée par les deux équations

a; = a[ni — sint)^ j- = a[i — cos/).

On tire de. ces équations

cLr=iadt[n — cosr), dy z=i adt.ûnt. d'où r'= j

dr'=: ■ dt, d où r"= —, r; •

SENS DE LA CONCAVITÉ D'uNB COURBE. 89

Pour n<^ I, ce qui est le cas de la cycloïde raccourcie, y" change

de signe avec n — cosfy et la concasfité change de sens. Pour

71 ^ I, ce qui répond à la cycloïde allongée, c'est le numérateur

de y"j au lieu du dénominateur, qui change de signe. Pour tz = i ,

^ ^ est toujours négatif, et la courbe toujours convexe vers le bas.

Le sens de la concavité relativement aux x dépend du signe

j y" ncost — I , > j. j . 1

du rapport — ^= : — -, :^i c est-à-dire du sigiie de

^'^ jr' asint(n — cos^J* °

I — ncost

sint

Remarquons que la détermination du sens de la concavité d'une courbe revient à examiner si j' croît dans le même sens que x ou en sens contraire.

549. Points d'inflexion, — Si j" s'annule, alors la différence

changera de signe avec A, de sorte que, d'un côté du point de contact, la courbe est au-dessus de la tangente, tandis que, de l'autre côté, elle est au-dessous. On dit alors que la courbe présente un point d'inflexion.

Remarquons que les conditions d'existence d'un point d'inflexion reviennent à celles-ci Dxj''=o, D'j^' différent de zéro. Ce sont là précisément les conditions du maximum ou du minimum àey'j comme on pouvait le prévoir a priori.

Si y'" s'annule en même temps que j", il faut alors, pour qu'il y ait inflexion, que la première des dérivées suivantes qui ne s'annule pas soit d'ordre impair.

Cela revient à chercher la condition pour que j" change de signe lorsqu'on passe de l'abscisse x — A à l'abscisse x -{- A, c'est-à-dire pour que la concavité de la courbe change de sens. C'est là le seul caractère que l'on puisse employer dans le cas où le minimum de y* correspondrait k y"=. oo [392].

La règle serait en défaut si la valeur j " = oo , même accompagnée d'un changement dans le sens de la concavité, correspondait à un maximum ou à un minimum de x. Dans ce cas, pour juger s'il y a inflexion, on examinerait s'il y a changement de sens de la

40 LIYftB III. — GHAP. I, I III.

concavité dans la direction des x, c'est-à-dire s'il y a changement

yJf

de signe àej'j" ou de ^ [547].