THÉORÂHEB DE GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE

L'aire du triangle des deux tangentes est

AMM' = i MM'. AP = ^ ds^d-^ ^Ly^'djc».

La flèche PQ = - MM' tangQMM'. Or le point Q correspond

à une abscisse égale à x H — h, aux infiniment petits près de l'ordre

de PA, c'est-à-dire aux infiniment petits près du second ordre. On a donc, h différant infiniment peu de h\

ta„gQMx = -^i±±i|lzi^=/ + .=y+|(r'4-.).

Donc

tangQMM'= taogfM'Mx ~ QMo:) = 7 ^y''{^'^^) . » ^

d'où

PQ = i dsdr = QA = - AP, o a

comme cela a lieu pour la flèche d'un arc fini de parabole, menée parallèlement à l'axe.

543. Soit ix{x -\- ^, jr -{- Yi) un point de l'arc MM'. On aura

quantité qui ne diffère que d'un infiniment petit du troisième ordre de l'ordonnée d'une parabole ayant son axe parallèle à l'axe des j^. L'élément d'aire du segment MAM' difi^ère donc infiniment

peu de l'élément d'aire f/'Ç H — j"V] ^1 ^^ cette parabole; donc, d'après une propriété connue de la parabole, l'aire du segment MQM' est les X du triangle MAM', et a pour valeur — y"dx^,