TANGENTES ET NORMALES AUX COURBES PLANES

504. Soit M {Xyj) un point d'une courbe donnée. L'équation d'une droite MP passant par ce point sera de la forme

Si l'on prend sur la courbe un autre point M', dont les coordonnées soient x + h, y -\-ky la distance de ce point à la droite MP sera, en supposant les coordonnées rectangulaires,

Supposons maintenant h et k infiniment petits^ on aura, en

H. — Cours de Calcul iitfin., II. I

désignant par e une quantité infiniment petite en même temps que /{,

et, par conséquent.

Cette formule montre que, en général, $ est infiniment petit du premier ordre en même temps que h.

Mais, si Ton détermine le rapport - de manière que Ton ait

A -J- B/ i-r o, d où g 1=^ — /, Téquation de la droite devenant

$ sera alors un infiniment petit d'ordre supérieur au premier. L'équation (i) représente donc une droite déterminée, jouissant de la propriété que, dans le voisinage du point (^,^), cette droite s'approche infiniment plus de la courbe que toute autre droite menée par le même point. Cette droite s'appelle la tangente à la courbe au point [x,y).

505. Si l'on remplace y^ par sa valeur indéfiniment approchée

dr

■j-5 l'équation de la tangente prend la forme

ou

€ix ^^

Tj

€Lc dy

et sous cette forme elle représente rigoureusement une sécante rencontrant la courbe aux deux points ( J^,^) et (.r -h dxy y -\- dj^. Donc la tangente à une courbe au point (^, jk) ^st la limite des sécantes qui rencontrent la courbe en ce point et en un point infiniment voisin.

En poussant plus loin le développement de Âr.=j'^7i-|- - (^''-l-e)/t^,

on a, pour l'expression de la distance M'P du point (x -j- h^y H- /r)