TANGENTES AUX COURBES PLANES
à la tangente,
OU; en mettant pour - sa valeur, et négligeant un infiniment petit du troisième ordre,
y/y-hi
Cette distance est donc un infiniment petit du second ordre, sauf dans le cas oùj" serait nul.
Remarquons que tous les calculs précédents s'appliqueraient au cas des coordonnées obliques, faisant entre elles un angle 6, si ce n'est qu'alors le dénominateur de S serait
-7— r ^A*H- B'-h 2 AB cos^, ou -r—: v/i -H r" -h 2r'cosO, sinô 8m0 " *" "^
S06. Si l'équation de la courbe est donnée sous la forme
on a alors
ou, aux infiniment petits près du second ordre,
à/ ^ àf , ôx oy
Substituant, dans cette équation homogène, ^dx et à ^jles quantités proportionnelles Ç — x, m — y, en vertu de l'équation (2), on a, pour l'équation de la tangente en quantités finies,
507. La perpendiculaire à la tangente au point de contact, c'està-dire la normale à la courbe, a pour équation, en vertu des équations (2) et (3),
(4) (Ç — j?)^-f-(u —y)djr = o^
OU
g — «g Ti — y
àf ~ ^^ àx dy
On peut encore obtenir Téquation (4) en exprimant qu'un pornt quelconque de la normale est sur la limite de la perpendiculaire élevée au milieu de la corde qui joint les deux points (j^,^) et (x 4- dx^ y -f- dy). On obtient cette condition en exprimant que la distance du point (^,7j) au point {^x^y^ ne change pas, lorsqu'on y remplace x^y par x -f- dx^ y -f- dy. En égalant donc les carrés des deux distances, on a
ou
la différentielle étant prise en faisant varier seulement x^y^ et laissant ^y fi constants. En efiecluant la différentiation, on retrouve l'équation (4)*
Si les coordonnées sont obliques au lieu d'être rectangulaires , l'équation de la normale sera
rf[(Ç-x)»4- [-a - j)» 4- 2(Ç-.r) (ï3 -y) cosô] :^0,
c'est-à-dire
[Ç — X 4- (ï3 — 7) COSÔ]<fx4- [(Ç — x)cos6 -^ti—y^dy^zzo.
De cette équation et de la dlfTérentielle de l'équation de la courbe
on tire
Ç — xH- (u — j) rosô (Ç — x] cosô -f- u — y
àx ày
pour l'équation finie de la normale en coordonnées obliques.
508. Désignons par ^5 = \^dx'^ -H dy^ la longueur de la corde infiniment petite qui joint les deux points
(x,j) et (x 4- </x, 7 -H dTjr).
En appelant a, (3 les angles que fait cette corde avec les axes coordonnésy ces angles auront pour limites les angles que fait la tan-
