RAYON ET CENTRE DE COURBURE

555. Calculons maintenant les coordonnées du centre de courbure. Ce centre est sur la normale, qui a pour équation [507]

Le carré de la distance de ce centre (|, 7}) au point {x^j-) est On a donc

(iX dr ^^1 ^ dy% ds

d'où Ton tire les valeurs de ^ — x^ri — y^ mais avec une ambiguïté de signe. Pour lever celte ambiguïté, rappelons-nous que la for-

mule (i) du numéro précédent, p= v^^ ^ donne pour pdx une

valeur positive ou négative, suivant que la courbe sera concave vers le haut ou vers le bas [546]. Or le centre de courbure étant dans la concavité, fi — y doit être de même signe que j^'', et, par suite, que pdx. Donc il faut prendre le signe supérieur, ce qui donne

dy ds^dr dx ds^

ds y'dx' •" ^ ds f'djc^

556. On peut arriver au même résultat, en cherchant la limite de rintersection de deux normales infiniment voisines. Soit, en général,

Féquation d^une ligne, dans laquelle ^, y] sont les coordonnées variables, et X, jj qui jouent le rôle de paramètres, les coordonnées d'un point donné sur une autre courbe donnée. Si l'on passe du point {xjj) au point infiniment voisin [x -^ dx , j -{- dj) de la même courbe, l'équation V== o devient

la différence dY ou rfx,/V, étant prise par rapport à x^jy en laissant 5, y] constants. Pour avoir l'intersection des deux lieux infiniment voisins

46 LIVRB III. — GHAP. I, I IV.

il faut considérer ces deux équations comme existant simultanément, ce qui revient à poser à la fois

V=o, rfV=o,

et, de ces deux dernières équations, on tirera les valeurs de ^ et de Yî.

557. Si maintenant V = o représente Téquation de la normale, les deux équations précédentes pourront s'écrire sous la forme

Ç — jr -+-/(îî — r) = G, ~ I -f- ^^ (yj —7) — y*=: O,

1 -f- r'* ds* , I -h r'» dxds^

ris* . rz ds^

le signe ^tant choisi de manière que la valeur soit positive, lorsqu'on ne veut avoir que la longueur absolue de p.

558. On peut calculer l'angle de contingence d'une autre manière, qui fait connaître en môme temps le centre de courbure. Pour cela, démontrons d'abord une formule importante et d'un fréquent usage.

Soient a, b les cosinus des angles qu'une droite mobile fait avec les axes ; a -f- da, b -h db les cosinus analogues , correspondants à une autre position de la droite; l'angle que font entre elles ces deux positions. Le cosinus de cet angle aura pour valeur, à cause

cos 9 z= a[a-{' da] •■f-b[b -\- db] = i -h ada -]- b db. On a d'ailleurs

1 = (a4-r/a)*-f- [b -hdby=i -h 2 [a da -h b db) -+■ da*-hdb*,

d'où

ada-h bdb = (da^-h db*),