RATON ET CENTRE DE COURBURE

ce qui donne la formule rigoureuse

^2(1 — cosô) = a sin - = ^da^ -f- db^.

Si maintenant les accroissements da, db sont infiniment petits, ainsi que Tangle 6= drj on aura

2 sin - 6 = Jt,

aux infiniment petits près du troisième ordre, d'où la formule générale pour Tangle de deux directions infiniment voisines

dr = ^da^ -h db^.

o59. Cela posé, par le point M(a:,^) {fig. 48), menons la tangente MX en ce point et la parallèle MX' à la tangente au point M'(j: h- dxyj + dj). Prenons sur ces deux droites des longueurs quelconques égales entre elles MX=MX'=:/. La droite XX', dirigée de X vers X', tendra vers le sens de la concavité de la

Fig. 48.

courbe, et sa direction aura pour limite une parallèle au rayon de courbure, puisque les angles à la base du triangle isoscèle MXX' ont chacun pour limite un angle droit.

Or les cosinus des angles que fait la tangente MX avec les axes

ont pour valeurs [508] « = — , i = -— . On aura donc, en appliquant la formule (i) du numéro précédent.

560. Si l'on projette le contour du triangle MXX' sur Taxe des Xy et que Ton désigne par A, /x les angles que fait la direc-

tion TT' avec les axes, on aura

MT.fl -+-TTco8> — T'M(a-+-rfa) = o,

0U| à cause de TT'=: MT. dr, aux infiniment petits près du troisième ordre,

et de même

</TCOSfA z=zdb\

donc

da db , ,

d-zzn - = z=z±Jdà'-^db^,

COSA COS/i '

OÙ nous prendrons le signe +y si nous voulons considérer dz comme une grandeur absolue. Donc, en mettant pour a, b leurs

. dx dy .|

valeurs -r» -r» " vient ds ds

. 1 j dr ^ ,^X

ces/ =z —- d ~ry cosu =. --- d -^i dr ds dr ds

Ç — * = pcosX = -7- é/ -j-» ï3 — r =zr psinX= -7-^ -7-»

* dr ds -^ r ^^ ^

p étant pris, comme dxy en valeur absolue.