Soit une courbe (G), dont l'équation
F(X,Y, a, «1, ...,an) = o
renferme n -h i paramètres arbitraires a, ai , . . ,,a„. On peut disposer de ces paramètres de façon que la courbe (G) satisfasse à H-hi conditions données. Si ces conditions consistent en ce que
la courbe (C) ait avec une courbe donnée
un contact d'ordre w, c'est-à-dire de l'ordre le plus élevé possible, la courbe (C) sera dite alors osculatrice à la courbe (2) au point
Soient
F (X, Y, fl, flj, . . ., ûr„) = o,
Fl (X, Y, Y', a, «j, . . ., rt„) rrz o,
F„(X, Y, Y', . . ., YC), «,«!,..., «„) =
les équations que l'on obtient en difTérentiant n fois l'équation (i). Les conditions pour que la courbe (C) ait avec la courbe donnée un contact d'ordre n étant exprimées par les équations
(3) Y=y, T=y, ^''=y\ ..., Y(«)rr:^(«),
pour X == X, il en résulte que les équations précédentes de\Tont être vérifiées quand on y remplacera
X, Y, Y', . . . , YC) respectivement par les valeurs connues
On aura donc, pour déterminer les /i -+- 1 paramètres de la courbe G), osculatrice à la courbe (2) au point (x, j^), les équations
Fi [^^ r» r't «. «Il • • • 1 «») = o,
y^j'i • • • yj^^^ étant les valeurs tirées de l'équation (2) et de ses n premières dérivées, et relatives à l'abscisse donnée x.
569. Supposons actuellement que les n 4- i conditions pour la détermination de la courbe (C) soient que cette courbe passe par un point {oc^j) de la courbe (2) et par n autres points de la même courbe, correspondants aux abscisses 0:1,0:2, • • •yXn* Les ordon-
COURBES OSCULATRIGES. 67
nées des deux courbes , correspondantes aux abscisses x, a?^ . . . , X/j, devront être respectivement égales, c'est-à-dire que Ton devra avoir les 71 -f- I égalités
(4) ^=Xf Ti=ri, ..-1 Y„=j„.
Diaprés cela, Téquation (i) fournira, pour déterminer a, a^ • • 'ya„, les 71 -f- 1 conditions
Si Ton conçoit, maintenant, que les tz -H i points donnés sur la courbe (2) deviennent infiniment voisins, la courbe (C) tendra vers une certaine limite; cherchons ce que deviennent alors les conditions précédentes.
Soient, pour abréger,
les différences
En développant les valeurs des ordonnées qui entrent dans les équations (4)> ces équations deviennent
Donc, pour que (C) passe par le point (or, j^) de la courbe (2), il faut que l'on ait Y — y = o, ce qui réduit la seconde des équations précédentes à Y' — y'4-e| = o. Si A|, et par suite e^ deviennent infiniment petits, cette équation deviendra, à la limite,
Y' — y' =- o, et par conséquent les conditions qui expriment que les deux courbes ont deux points communs infiniment voisins seront Y =j^, Y'=j^', et ce sont précisément là les conditions qui établissent entre les deux courbes un contact de premier ordre.
Ces conditions étant remplies, la troisième équation (5) se réduit à Y'' — y" -\'i^-= o. Si le troisième point (j:2,j'2) se rapproche indéfiniment du premier i^x^y^ t^ devenant infiniment petit avec Aa, on aura alors la condition limite Y"=j", qui, jointe aux deux précédentes, exprimera que les deux courbes ont trois points communs infiniment voisins, et, en même temps, qu'elles ont entre elles un contact du second ordre.
La quatrième condition se réduit alors à Y'" — j'''-|-c3 = o, d'où Ton tire, à la limite. Y"' -~=iy'", et ainsi de suite. Si donc les n + I points se réunissent en un seul, on aura, pour les conditions que doit remplir la courbe (C),
Yiz^J, Y:./, Y"-^^" YCJrrr^C'O,
qui sont précisément les conditions pour que les deux courbes aient entre elles un contact du /i**"* ordre ou soient osculatrices. Ainsi la courbe cherchée sera la courbe d'espèce (C) osculatrice à la courbe donnée (2), ayant avec celle-ci le plus g^rand nombre possible de points communs infiniment voisins, ou, ce qui revient au même, ayant avec (2) un contact de l'ordre le plus élevé possible.
570. Exemples. — I. Droite osculatrice. L'équation d'une droite
contient deux paramètres a, b. On pourra en disposer de manière à établir, en général, entre la droite et une courbe donnée, un contact du premier ordre. On aura, pour cela, les conditions
d'où l'on tire
et l'on retrouve ainsi l'équation de la tangente [504].
Si, au point considéré de la courbe, on a ^''= o = Y", c'est-
GOVBBES 0SCULATRICE3. Sq
à-dire, si le point [xy y) est un point d'inflexion de la courbe, le contact de la courbe avec sa tangente sera du second ordre. Il sera de Tordre n, si Ton a à la fois
