II. Cercle oscillateur. — L'équation d'un cercle

renfermant trois paramètres, on pourra obtenir, en général, entre la courbe et le cercle, un contact du second ordre, en posant les équations

équations qui sont identiques avec celles qui déterminent le cercle de courbure [557]. Donc le cercle de courbure est en même temps le cercle osculateur.

571. On peut démontrer géométriquement, comme il suit, l'identité du cercle de courbure et du cercle osculateur. Le cercle osculateur étant la limite du cercle qui passe par les trois points infiniment voisins M, M^, M'' {fig' ^^)t son centre sera la limite de

Fig. 57.

l'intersection des perpendiculaires élevées sur les milieux des cordes MM', M'M". Soient C|, Cj les longueurs de ces cordes, R le rayon OM', l'angle M^'^M'N des deux cordes; 6|, Sa les angles des perpendiculaires OP, OQ avec OM'. On aura

sin 0| = — - j sin 9^ =

aR ' 2tt

Go LIVRE III. — GIIAP. I, § V.

d'où

COS»i =

et, à cause de 6| 4- 62= 6,

On en tire, en négligeant des infiniment petits du troisième ordre,

ce que Ton aurait pu voir directement, en négligeant la différence entre chaque corde et son arc. Or nous avons vu [54S] que Tangle de deux cordes infiniment petites, correspondantes aux abscisses

Xy X -^ hif a: 4- A< -h A2, est

/il -i- //, 1-4- r'* /'i -f- /'j ^T

nr — • — n '■ 1= — — :

donc

dx'

Cl + Cl d.r

Mais chacun des rapports ^9 -p diffère infiniment peu de — : il en

est donc de même du rapport -r^ Donc

^ '^ /il -T- //j

dx dx ds

dx ih d-z

572. Le centre de courbure est la limite de Tintersection de deux normales infiniment voisines [553], tandis que le centre du cercle osculateur est la limite de Tintersection des perpendiculaires élevées sur les milieux de deux cordes infiniment petites. Bien que ces deux perpendiculaires aient elles-mêmes pour limites deux normales infiniment voisines, on ne serait pas autorisé pour cela à en conclure immédiatement l'identité des deux points de rencontre.

Remarquons, en effet, que, si Ton élevait une perpendiculaire à

REMARQUES SUR LE CERCLE OSGULATEUR. 6l

l'une des cordes en son milieu D (fig* 53), et une perpendiculaire à l'autre corde en un point G différent de son milieu E, la perpendiculaire GF aurait bien pour limite une normale à la courbe; mais elle couperait la perpendiculaire DO en un point F situé

Fig. 53.

à une distance finie de O, si GE est une fraction finie de la distance infiniment petite DI. Donc, si le rapport — est constamment différent de l'unité, la limite du point F ne sera pas celle du point O. Il semblerait donc, au premier abord, que la limite du point de rencontre de deux normales infiniment voisines varie suivant la manière dont on définit la normale, comme limite de telle ou telle perpendiculaire.

La raison de cette espèce de paradoxe est que, si deux droites font entre elles un angle infiniment petit, leur point de rencontre pourra se déplacer d'une quantité finie, lorsqu'on fera varier la direction de l'une de ces droites d'un angle infiniment petit de même ordre que celui que les droites font entre elles , ou lorsqu'on fera mouvoir l'une des droites parallèlement à elle-même d'une quantité infiniment petite du même ordre que la perpendiculaire abaissée d'un des points de l'une de ces droites sur l'autre droite.

Soient maintenant AL, BL {fig* 54) les normales à une courbe aux points infiniment voisins A, B. Si l'on remplace l'une de ces normales AL par la perpendiculaire AJ à la corde AB, cette perpendiculaire faisant avec AL un angle infiniment petit du premier

ordre ( = - ALB J [S41 ], son point d'intersection avec BL se trouve

déplacé, de L en J, d'une quantité finie, et il est aisé de voir que JL diffère infiniment peu de LB. Si l'on mène maintenant BO perpendiculaire à la corde BC, en remplaçant BL par BO, le point d'intersection se déplacera de nouveau d'une quantité JO, qui

6a LIVRP III. — CHAP. I, § V.

différera infiniment peu de LB, si BC diffère infiniment pea de AB. Donc, dans le cas de AB =:.- BC, AO diffère infiniment peu de AL, et, comme l'angle OAL est infiniment petit, le point O est

Fijf. 54.

infiniment voisin du centre de courbure L, et sa limite est la même. Ainsi, le centre de courbure est la limite du point de rencontre des perpendiculaires élevées aux extrémités antérieures de deux cordes consécutives infiniment petites, lorsque ces cordes sont égales ou infiniment peu différentes. Car c'est sous cette dernière

condition qu'on a eu OAL = OBL = - AOB.

Si les cordes étaient inégales, le triangle BOJ ne serait pas isoscèle, puisque l'angle des cordes ne serait plus égal à celui des normales [545], et la limite du point O ne serait plus la même que celle du point L.

Si nous transportons maintenant la perpendiculaire AO parallèlement à elle-même au milieu D de la corde AB, en DQ, le point Q sera le milieu de BO, et par suite, la limite du point Q, dans le cas des cordes égales, est le milieu du rayon de courbure. Mais si maintenant l'on transporte parallèlement BO au milieu de BC, en EN, on a, dans le cas des cordes égales, QN infiniment peu différent de DQ. Donc DN diffère infiniment peu de AL, d'où l'on conclut que la limite du point N, ou le centre du cercle osculateur, coïncide avec la limite du point L, ou avec le centre de courbure.

Dans le cas des cordes inégales, on a, d'après ce que nous avons vu, en appelant /<, A| les projections des deux cordes sur Taxe des Xf et négligeant les infiniment petits du second ordre,

OAL = i -^^, = OJL, d'où U = LB = p.