Une courbe algébrique, dans les mêmes circonstances que

POINTS D'ARRâT ET POINTS SAILLANTS. 8l

ci-dessusy ne peut présenter non plus de point saillant, c'est-à-dire, de point où viennent se terminer deux branches de courbe dont les tangentes feraient entre elles un angle fini.

En effet, si, entre Téquation de la courbe et sa différentielle, on élimine j^, il en résultera une équation entre a: et^'', qui donnera, pour chaque abscisse, le coefficient angulaire de la tangente, et qui sera algébrique, comme l'équation primitive entre x eX y. Si l'on construit la courbe dont y est l'ordonnée, cette courbe ne peut avoir de point d'arrêt, d'après ce qu'on vient de voir. Donc la courbe primitive ne peut avoir non plus de point saillant, où la direction de la tangente varierait brusquement d'une quantité finie.

Donc les points d'arrêt et les points saillants ne peuvent se trouver dans les courbes algébriques, tant qu'on n'y particularise pas la signification des radicaux.

592. Il en serait autrement, si l'on restreignait la généralité des radicaux, en réduisant les radicaux d'ordre pair à leur valeur arithmétique. Dans ce cas, les lignes représentées par les équations

présenteraient des points d'arrêt, et les lignes représentées par les équations

offriraient des points saillants.

Ces deux sortes de points singuliers se rencontrent dans les courbes qui représentent certaines fonctions discontinues, exprimées par des intégrales définies, comme nous en avons vu des exemples aux n®* 457, 480, 483. On les trouve encore dans certaines courbes représentées par des équations transcendantes. Par exemple, les courbes

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H. — Cours de Calcul infin,, II.

8a LIVRE III. — CHAP. I, § VIII

ont des points d'arrêt pour x = o ; les courbes

— - j jr zLzxarc tang -

ont, pour x= o, des points saillants.

593. Passons maintenant à la recherche des autres espèces de points singuliers, que peuvent présenter les courbes algébriques, et parlons d'abord des points multiples. Soit

l'équation de la courbe, supposée mise sous forme entière et rationnelle, si elle est algébrique ; sinon, nous supposerons que son premier membre soit une fonction transcendante jouissant des propriétés des fonctions entières, qui ne dépendent pas de leur degré.

Si l'on donne à x et à j^ des accroissements infiniment petits hf A, et que l'on désigne généralement par tn un infiniment petit d'ordre tx, on aura [339]

et ainsi de suite, suivant que l'on voudra pousser plus ou moins loin le développement.

Supposons maintenant que («r, ^) soit un point de la courbe; alors y [x, y) =^ o, et l'on aura, pour un point {x -h h, jr + k) infiniment voisin de {30fy)y

Imaginons qu'au point (x,^) passent deux branches de courbe, non tangentes entre elles. Alors, pour la même valeur de h, on aura deux valeurs de Ar, différant entre elles d'un infiniment petit du premier ordre [567]. Soient k,k' ces valeurs; on devra avoir,

GARAGTàRBS DBS POINTS MULTIPLES. 83

avec Téquation (i), l'équation

ôx ojr

Retranchant Tune de Tautre ces deux équations, et divisant par h il vient

La limite de — - — étant finie et celle de -~ — ^ nulle, on en con-

dut -~- = o. L'équation (i) se réduisant alors à

o = ^ + îî, dx h

on en conclut que -r- est pareillement égal à zéro. Donc on a, en ce point, la double condition

Si Ton suppose actuellement que les deux branches aient entre

elles un contact du premier ordre, alors — j^— aura une limite finie [567]. Or des équations

Ox dy 2 dor* dxojr a oy^

u àf u df /i* d'f , ^, dV *'• àV ,

OX oy a ox* oxoj" 2 a/*

on tire, par soustraction.

k'-k tdf dV i' + i dV «',-«, \

et A, j -p — I étant des quantités infiniment petites, on en

df . .df ,

conclut encore que ^ > et par suite aussi -r- sont nuls.

En général, si les deux branches ont entre elles un contact

d'ordre /i, — — — ayant une limite finie, on développera les équations précédentes jusqu'aux termes d'ordre n, ce qui donnera

Ôx Ojr *

En faisant la soustraction, il ne restera dans le développement que les termes divisibles par A' — A", et l'on aura

Tous les termes de la parenthèse qui suivent le premier étant infi-

niment petits^ il en résultera toujours que ^ doit être nul.

Donc, en général, on a, pour un point multiple où il passe plus d'une branche de courbe, les relations (a), qui doivent avoir lieu en même temps que l'équationy (x, y)=zo.

o94. Si par le point (j:,j^) il passe une troisième branche de courbe, non tangente aux deux autres, on aura, en ayant égard aux équations (2), qui sont nécessairement satisfaites,

0"=. r— : -h iiK

avec deux autres équations semblables pour les accroissements k', h" des ordonnées des autres branches. On en tire par soustraction

<)'/ k' + kd\f .;-.,

d\f r-H k d*/ ,',-,, ° ~~ dxdj- "^ i/t dj-' "^ //(/•"— X-)'

Cette dernière équation donne, en passant à la limite, -r-^ =0;