POINTS MULTIPLES, POINTS DE RBBROUSSEMBNT, ETC

en revenant ensuite aux équations précédentes, on en conclut que et -r-j s'annulent également. Donc si, par le point {Xyj)y il

dxôx àx

passe trois branches de courbe qui se coupent sans être tangentes entre elles, les dérivées partielles du second ordre dey(a:,^) devront s'annuler en ce point, comme les deux dérivées partielles du premier ordre, et Ton aura, outre l'équation y (j:,j) = o et les équations (2), les conditions

,,> dV àV d^f

On étendrait, comme précédemment, ce résultat au cas où deux de ces branches, ou toutes les trois, seraient tangentes entre elles.

On voit sans peine comment on peut poursuivre ces considérations, lorsque la courbe a un nombre quelconque de branches passant par le point [x,y).

595. La propriété des points multiples, d'annuler les deux dérivées partielles du premier membre de l'équation de la courbe, a lieu également pour les points isolés et pour les points de rebroussement.

Soit, en effet, (xo,^o ) un tel point. On pourra tracer par ce point une infinité de droites telles que, d'un côté d'une de ces droites, il n'existe aucun point de la courbe infiniment voisin du point (0:0 9 /o)- Si l'on prend donc sur une telle droite, de part et d'autre du point {jr 07^0)9 deux points infiniment voisins

on pourra mener de l'un de ces points à l'autre une ligne continue qui ne rencontre pas la courbe, et, par conséquent, en aucun point de laquelle la fonction y (j:,j^) ne puisse s'annuler. Cette fonction, étant supposée finie et continue pour toutes les valeurs finies de x et de^, ne pourra donc changer de signe, lorsque x et Y passent des valeurs Xo — /'> J — ^ aux valeurs Xq + A, j^o -H ^• Or, à cause dey(a:o,^o) = 0, on a

Pour que cette quantité ne change pas de signe avec h et k, il faut

86 LIVEB III. -^ GHAP. I, S VIII.

évidemment, j étant arbitraire, quey*'(j:o) ety'(j^o) soient nnls,

et par suite que les coordonnées du point isolé ou du point de rebroussement satisfassent aux conditions (a).

596. Donc, pour obtenir les points de la courbe y(x,^) = o qui peuvent être singuliers, on cherchera d*abord les solutions communes aux trois équations

puis Ton examinera en particulier chacun des points correspondants à ces solutions.

Dans le voisinage du point {^x^y) qui satisfait à ces conditions, on a

En supposant que les conditions (3) ne soient pas toutes satisfaites,

h la limite y du rapport j sera donnée par Féquation du second'

degré

(il o= -\- Y^ — 1 — v' — ^•

Toutes les fois que les racines de cette équation ne seront pas réelles, c'est-à-dire toutes les fois qu'on aura

le rapport ji infiniment peu différent de y, ne sera pas réel non

plus. Il n'existera donc aucun point réet [x-i-h^y-^k) de la courbe dans le voisinage du point {x,y). Ce point sera donc un point isolé.

Si l'équation (4) a ses racines égales, et par suite réelles, les

deux valeurs de t différeront infiniment peu l'une de l'autre. On

aura donc deux branches tangentes entre elles, se continuant de part et d'autre du point (Xyjr), ou bien s'arrétant toutes les deux en ce point, qui sera alors un point de rebroussement; ou bien

POINTS DE RBBROUSSBMBNT. 87

enfin -r^ quoique différant infiniment peu d'une valeur réelle, sera

imaginaire^ et le point {x,jr) sera un point isolé.

Si les racines de Téquation (4) sont réelles et inégales, c'est-àdire, si Ton a

le point {x,y) sera généralement un point double, ou exceptionnellement un point isolé.

Si les trois dérivées partielles du second ordre sont nulles, on poussera le développement plus loin, et l'on discutera les racines de l'équation du troisième degré en j^. Et ainsi de suite.

597. Un point de rebroussement est dit de première ou de se~ conde espèce, suivant que les deux branches de courbe qui viennent se toucher et s'arrêter en ce point sont situées de part et d'autre de la tangente commune, ou d'un même côté de cette tangente.

En exceptant le cas dej^^=o, où le point de rebroussement correspond à un maximum ou à un minimum de x seulement si le rebroussement est de première espèce, et le cas de j'= oo , où le rebroussement de première espèce correspond à un maximum ou à un minimum de^ seulement, un point de rebroussement de première ou de seconde espèce correspond à un maximum ou à un minimum de x et de ^ à la fois. Ce caractère servira à déterminer les points de rebroussement, lorsque x et j seront exprimés au moyen d'une variable indépendante quelconque, qui ne devienne pas maximum ou minimum en même temps que les coordonnées [400]. On cherchera dans ce cas les valeurs de cette variable t pour lesquelles x =^^[t) etj^= ;j(t) sont maxima ou minima à la fois, ou qui donnent x maximum ou minimum avecj^'= o, ou bien j^ maximum ou minimum avec j^= oo .

598. Considérons la courbe dérwée, dont nous avons déjà fait usage [591 ], et qui a pour ordonnée la valeur de y' qui correspond à chaque abscisse x dans la courbe proposée /{Xjjr) = o. En exceptant le cas où la tangente commune est parallèle à l'axe des^ (cas que l'on peut toujours éviter, en échangeant, s'il le faut, les

axes entre eux), un point de rebroussement correspond à un maximum ou à un minimum de x dans la courbe proposée, et par suite aussi dans la courbe dérivée (sauf le cas où une branche imaginaire aurait une tangente dont le coefficient angulaire serait réel). Dans le cas d'un rebroussement de première espèce, j^ croît dans le même sens avant et après le point considéré, lorsqu'on passe d'une branche à l'autre de la courbe primitive. Il s'ensuit de là qu'au point correspondant de la courbe dérivée la tangente est parallèle à l'axe des^. On a donc généralement, dans ce cas,

et il en résulte qu'en un point de rebroussement de première espèce le rayon de courbure p =^ — -— est nul, et la courbure -

infinie. Par conséquent, la courbe rencontre en ce point sa développée.

Il peut arriver exceptionnellement que, pour un rebroussement de première espèce de la courbe primitive, la courbe dérivée ait aussi un rebroussement de première espèce; mais, comme il ne doit pas y avoir de maximum dej'', il faut que la tangente soit parallèle aux or, et que l'on ait par conséquent

>*'=o, d'où p = co, - =o,

ce qui correspond à une asymptote de la développée.

Si le rebroussement est de seconde espèce, j^' prend, pour les deux branches, des valeurs égales au point considéré ; et, en partant de ce point pour aller sur chacune des branches, j'avarie dans le même sens. On en conclut que, ^' devant avoir un maximum ou un minimum en même temps que x, la courbe dérivée doit avoir un point de rebroussement, et que, si ce rebroussement est de première espèce, la tangente ne doit pas être parallèle à l'axe des x.

599. Pour distinguer les deux espèces de rebroussement, il suffit de voir si, au point considéré, ou pour un point infiniment voisin, les valeurs de y^^ correspondantes aux deux branches sont de signes contraires ou de même signe, c'est-à-dire si les deux