EXEMPLES DE POINTS SINGULIERS. QI

et Téquation en j^,

a nne racine nulle et une racine infinie. Pour avoir le sens de la concavité y diflférentions deux fois l'équation précédente, ce qui donne les équations

( j« — <ix) y^ -h 6 jy ^"^ — Zaf-\- a/» H- 2 =: o.

On tire de la dernière, pour x=-y = j^= o, j'''= ^— » valeur po-

sitive avec a ; donc la branche tangente à Taxe des x est concave

vers le haut. Pour l'autre branche, tangente à Taxe des y^ nous

chercherons le sens de sa concavité relativement à la direction

y" des Xj lequel dépend [547] du signe de j::'^ = — ^- Or on a, en

négligeant des quantités qui s'annulent,

6jy- j7i ~ 3fl — + a -h — = o.

D'aiUeurs l'équation (i) donne

d'où, pour X = o, j''= 00,

Wmyy' =. a.

Donc l'équation ci-dessus donne

et par suite la courbe est concave vers la droite. III. Considérons la courbe

y^ — 2x*j-f- x*^.= o, ou jr-=x^[\±^i r),

pour laquelle ^ et ^ s'évanouissent au point x = Ojjr = o. L'équation dérivée seconde donne, en ce point, 2j^^= o. Doncj^ a une valeur double égale à zéro, ce qui annonce deux branches

92 LIVEB I. — GUAP. I, § VIII.

tangentes à Taxe des x. Pour avoir le sens de la concavité, on poussera jusqu'à Téquation dérivée quatrième, qui donne

d'où les deux valeurs j"= 4> j''= o. La première valeur indique une branche concave vers le haut; la seconde annonce une inflexion. En effet, en différentiant une fois de plus, on trouve