PROPRIÉTÉS DES TANGENTES

511. La distance de Torigine des coordonnées à la tangente yj — j^=j'(Ç — x) a pour expression

^i ^yt ds

ra.

La perpendiculaire abaissée de l'origine sur la tangente a pour

équation

\dx -^ tidf ^=1 o.

Combinant cette équation avec celle de la tangente, que Ton peut écrire sous la forme ^dj — ridx = xdj — ydx, il vient

dy — <lx iiy H- dx^ ds^

d'où l'on tire

Ç = BT -- et 12 = — CI -— '

ds ds

Le lieu des points (^i >?) s'appelle la podaire de la courbe par rapport à l'origine.

Pour avoir la podaire par rapport à un point quelconque {a,b) du plan, on remplacera, dans le calcul précédent, |, 77, x^y par ^ — a, n — i, X — Uj j — b.

512. Mener une tangente à une courbe par un point extérieur à cette courbe.

Les coordonnées x, y du point de contact seront déterminées par la double condition de satisfaire à l'équation de la courbe

et à l'équation générale de la tangente

OÙ l'on prendra pour 5, r? les coordonnées du point donné par où doit passer la tangente. On peut considérer les équations (i) et (2) comme représentant deux lieux géométriques, à l'Intersection desquels doit se trouver le point de contact cherché.

Lorsque l'équation (i) est algébrique, on peut simplifier en général le problème, en remplaçant la seconde équation (2) par une autre de degré moins élevé. Soit, en effet, m le degré de la fonc-

8 LITIB III. — CHAP. 1, § I.

tiony*(jr,j^)y supposée rationnelle et entière, et décomposons cette fonction en groupes homogènes ifmy Km.i» • • •« àe degrés m, m — I, . . - . L'équation (i) prendra la forme

( 3 ) «^ -f- u„ , -h . . . -+- If I -h «0 = o.

On a, d'ailleurs, en appliquant à chaque groupe homogène le théorème d'Euler [322],

OU, en combinant cette égalité avec Téquation (3) multipliée par — m,

x/'i-r] -+- rf ix) = — «m~i — 2tt^, — . . . — (m — i) tfi — mu^. Si Ton substitue cette valeur dans Téquation (2), celle-ci devient

équation qui n'est plus que du degré m — i en x, j^. Donc les points de contact sont déterminés par la rencontre de la courbe donnée de degré m avec une autre courbe, représentée par l'équation (4), et de degré m — i. Le nombre des systèmes de racines communes aux équations (i) et (4) étant en général m [m — i) [142], on en conclut que, par un point donné hors d'une courbe, on peut mener à cette courbe, en général, m^rn — i) tangentes, réelles ou imaginaires, m étant le degré de l'équation de la courbe. Si l'on applique ces résultats à une courbe du second degré, représentée par l'équation

on voit que les 2(2 — i) = 2 points de contact des tangentes menées par le point (^^y?) sont donnés par la combinaison de l'équation de la courbe avec l'équation

Ç/'(jc) -^mflx) -4-2£/j?-+-2ej-r- 2/=o,

qui est l'équation d'une droite, appelée corde de contact^ laquelle coïncide avec la polaire du point {X^tt).