DISTANGB DE DEUX POSITIONS CONSECUTIVES D*UNE DROITE. II
Si l'on désigne par
le premier terme du développement de T, on aura, le terme I ^A, dB, de I s'annulant identiquement,
rfTo- I A, rf«B, </c I -h I A, €lB, d^c \.
Donc la valeur de T peut s'écrire, aux termes près du quatrième ordre,
T = To-l--^To, d'où, tu désignant un infiniment petit d'ordre /i.
V I B, dC ,« + I C, rfA I* H- I A, dh l» -i- «,
Le dénominateur de cette expression ne s^annule pas en général, à moins que l'on n'ait, pour toute valeur de f ,
€ÎK dB dC
d'où l'on conclurait, en intégrant et désignant par Ao, Bo, Co des constantes,
A0 00 Cjq
A, B, C varieraient donc proportionnellement, et la droite se mouvrait parallèlement à elle-même. Si nous excluons ce cas, le dénominateur de i aura une valeur infiniment petite du premier ordre et difiiérente de zéro.
Tant que To n'est pas nul, cette quantité étant du second ordre, la distance i sera infiniment petite du premier ordre .
Si To est nul pour une valeur particulière de Iq, dTo n'étanl pas nul en général, S sera, pour cette valeur, infiniment petit du second ordre.
Si To est nul, quel que soit ^, ^To sera nul aussi, et par suite â sera infiniment petit du troisième ordre.
Donc, si la plus courte distance de deux positions consécutives d'une droite mobile est infiniment petite d'un ordre supérieur au premier, elle sera, en général, du troisième ordre.
On a, dans ce cas, T = g I A, r/»B, dc\-^j\A, €/»B, r/*c | -h g ] A, rfB, d^c \ -f- f,.
En retranchant de cette expression la quantité nulle
^ d'7o= z I ^'A, rf«B, rfc I -I- ^ I A, e/»B, rfc I + 4 1 A, rf*B, r/«c do' ' o' '3
-+-i|A, rfB,r/»c|,
il reste
T = - g I rfA, rf«B, rfc I — ^ I A, rf*B, rf»c I 4- !„
d^où, aux quantités près du quatrième ordre,
__ j^ 2|r/A, ^/«B, <fg|-h| A. r/«B, d^c
>2 y|B, </C|«-f- ;C, ^Al*-f-| A, t/B|«
63i. Supposons que la droite mobile soit la tangente à une courbe donnée. On aura alors
d'où Ton tire identiquement
T„=rf/'
Donc la distance des tangentes en deux points infiniment voisins d'une même courbe est infiniment petite du troisième ordre.
En poussant plus loin le développement, par la méthode du numéro précédent, on trouverait, pour Texpression de cette distance, en posant
et négligeant les infiniment petits du quatrième ordre,
V \ajrj \ày I XàzrJ
PLAN OSGULATBUa.
632. La distance du point M'(a: -f-rfj:, J plan mené par le point M(jc,^, z),
l'il dz) à lin
a pour valeur [6S9]
Idr -4- mdr -+- ndz
)li^
tV
Si Ton remplace àx^ djj dz par leurs valeurs
fi.r z= x'dt -i' - x^dt^ -h . . . , etc. ,
cette expression de la distance devient
(/y -+- mr' -f- //«' ; ile -»-- [ix" -h mj" + /iz" ) h
Elle sera infiniment petite du second ordre si les coefficients /, m^ n satisfont à la condition
