I.l' + mr' •+- nz = o

c'est-à-dire [620] si le plan (i5) est un plan tangent à la courbe. Elle sera infiniment petite du troisième ordre si /, m, n satisfont , de plus, à la condition

/.r" 4- ///j" -Jr nz"=z o.

De ces deux conditions (i 6) et (17) on conclut

et l'on peut supposer ces coefficients respectivement égaux aux quantités qui leur sont proportionnelles.

Le plan ainsi déterminé, et qui approche^ infiniment plus que tout autre plan, de la courbe dans le voisinage du point M(x,^, z), s'appelle le pUm osculateur à la courbe en ce point. En poussant plus loin le calcul et adoptant les notations du numéro précédent, on trouverait; pour la distance du point M'{x -H dx,j -hdj, z-h dz)

ISk2 LIVfiE III. — CHAP. II, § I.

au plan osculateur en M(x,^y ::),

iA./^»

aux infiniment petits près du quatrième ordre. Cette distance est donc double de la distance des deux tangentes en M et en M^

G33. Les équations (i6) et (17), qui déterminent /, m, /i, peuvent encore s'écrire^ en ne tenant pas compte des infiniment petits négligeables.

d'où l'on tire (20) iimln

dy uz

d^x dy

tlz dz d^z d^x

dx djr d'^x d^j

ce qui équivaut, à la limite, aux proportions (18).

Ces conditions (19) expriment que le plan osculateur est la limite du plan passant par trois points de la courbe infiniment

voisins.

634. La condition pour que le plan tangent (i5) soit parallèle à la tangente en M'(x -f- rfx, r -H dy^ z -j- dz)^ combinée avec la condition (16), donne

/ dx' -{-mdy -^ nd:f -— o,

ce qui coïncide, à la limite, avec la condition (17); donc le plan osculateur est la limite d'un plan tangent, parallèle à la tangente au point infiniment voisin.

Soit TT' {fig> 59) la distance des deux tangentes MT, M'T';

Fig. 69.

elle sera égale à la distance de la tangente T'M' au plan auquel elle

PLAN OSCULATBUE. 1^3

est parallèle^ mené par MT et par la parallèle Tm à T'M '. Le plan MTm faisant un angle infiniment petit avec le plan osculateur M TP, on peat considérer la parallèle M 'm à TT' comme coïncidant en direction avec la perpendiculaire M'P abaissée sur le plan osculateur; de plus, d'après ce qu'on a vu [632],

donc la distance m¥ est du troisième ordre. Or la perpendiculaire PQ, abaissée du point P sur la tangente MT, a pour expression

TP X angle QTP = - (hth,

aux infiniment petits près du troisième ordre ; donc Fanglc du plan MT/71 avec le plan osculateur, c'est-à-dire l'angle mQP, a pour expression

//iP 2^

PQ ds dt

d étant [631 ] la distance TT'; cet angle est donc du premier ordre.

Il en serait de même si, au lieu de prendre pour m le milieu de M'P, on menait un plan par MT et par un point quelconque de la distance M'P, ce qui ne peut faire varier qu'infiniment peu la direction de ce plan. On peut donc, en négligeant les distances infiniment petites du troisième ordre, dire que le plan osculateur est le plan de deux tangentes infiniment voisines.

L'angle du plan osculateur avec la tangente en M' est

mP 1$ TP ds

Cet angle est donc infiniment petit du second ordre.

Nous avons assimilé, en donnant les valeurs de PQ et de TP, la courbe à une courbe plane. Nous verrons plus tard que cette assimilation est permise dans les limites actuelles.

635. La normale menée à la courbe dans le plan osculateur étant représentée par les deux équations