Soit une surface représentée par Féquation

Cette équation déterminera une des variables, z par exemple , en fonction des deux autres x, y, considérées comme variables indépendantes. Désignons, pour abréger, par

dz dz

les^ dérivées partielles de z par rapport à a: et à ^. Par le point M(x, j^, z) de la surface, menons un plan

La distance de ce plan à un point de la surface

M'(x-f-/i, j-h/, z-hA),

infiniment voisin de M, sera

^ AA-hB/-f-C<

V^A« -f- B* -h C« Or on a [227J

A = [p-hi)/t-h(q-ht')i,

€ et b' étant infiniment petits en même temps que h et i, si^ comme on le suppose, z est une fonction continue de j: et de^; donc

Cette distance est généralement infiniment petite du premier ordre; mais elle deviendra infiniment petite d'un ordre supérieur,

quel que soit le rapport -r» si l'on détermine les coefficients Â, B,

C de manière que l'on ait

(3) A-hC/? = o, B-f-Cy=:o,

auquel cas Téquation (a) devient

Le plan déterminé par cette équation s'appelle le plan tangent à

la surface au point (x, j^, z).

Les quantités peiq étant déterminées par les équations

les équations (3) donnent

et par suite Téquation du plan tangent peut s'écrire sous la forme

638. Les équations d'une courbe quelconque, tracée par le point M sur la surface, s'obtiennent en joignant l'équation (i) à l'équation d'une autre surface passant par le point M. Si l'on cherche les équations de la tangente en M à l'une de ces courbes. Tune de ces équations ne sera autre chose [627] que l'équation (5); donc les tangentes à toutes les courbes tracées par le point M sur la surface sont situées dans le plan tangent à la surface en ce point.

639. L'équation (5) n'est autre chose que ce que devient l'équation différentielle de la surface

elzzzzpdx -^ q dy^ ou /' [x] dx -+-/' [y] djr -h/'(z)dz=:. Oy

lorsqu'on y remplace dx, dy, dz par \ — x, tî — y y X^ — z. C'est donc le lieu des droites données par les équations

(6) luf = '-Z1Z = Lii.

^ ' dx dy dz

Donc le plan tangent est le lieu des limites des droites qui passent par le point M et par un point de la surface infiniment voisin. Ces limites sont dites les tangentes à la surface au point M.