PLANS TANGENTS

que soient du et d^^^ si Ton a à la fois

d'où

A j:' -h Bj ' -h Ce' - o, Ax, -+- Bj , -f- C j, = o.

On peut aussi retrouver de cette manière Téquation du n^ 637. En effet, en différentiant Téquation (i) par rapport à u et à r, on a

Ces équations, comparées aux équations (lo), donnent

d^où Ton déduit encore Téquation (5).

644. Étant donnée l'équation (i) d'une surface, soit proposé de mener un plan tangent à celte surface, et passant par un point extérieur (a, j3, y). Les coordonnées du point de contact devront satisfaire à la fois à l'équation (i) et à l'équation (5), en remplaçant dans cette dernière les variables ^, r,,l^ par les valeurs données a, |3, y, ce qui donne

Cette dernière équation, si l'on y fait varier x,y, z, représente une nouvelle surface, dont l'intersection avec la surface (i) détermine une courbe, lieu des points de contact des plans tangents à la surface (i) et passant par le point (a, ^,7).

Si l'équation (i) est algébrique, l'équation (11) sera du même degré ; mais il est facile de voir que l'on pourra la remplacer par une autre, d'un degré moindre d'une unité. En effet, l'ensemble des termes

«/'(.r) + p/'ij-) + v/'(3)

est du degré n — i, w étant le degré de l'équation (i). L'ensemble

H. — Cours de Calcul i/ifin,, II. 9

j30 livre III. — CIIAP. II, § II.

des termes

qui est du degré Uj peut, en vertu de réquatlon (i), être abaissé à un degré moindre que n. En désignant par ff^ l'ensemble des termes du degré h dans le polynômey(jc, j^, z), on a [322]

d'où

.^/'(^) -^yf'[x] -H ^r[^-) = nf„^ [n - i)A iH-. . . -^ I ./,.

L'équation (i) donne d'ailleurs

En éliminant y), entre ces deux égalités, il vient

Donc l'équation (11) peut être remplacée par la suivante :

qui n'est plus que du degré n — i , et qui représente une surface passant par l'intersection des deux surfaces (i) et (11). Si, entre les équations (i) et (i i) ou (12) et les équations

de la tangente à la surface menée par le point (a, p, y), on élimine les coordonnées x,y, z, on aura l'équation du cône circonscrit à la surface et dont le sommet est au point (a, p, y).

645. En particulier, si l'équation (i) est du second degré, l'équation du plan tangent sera réductible à la forme

En développant cette expression, on voit qu'elle ne change pas, lorsqu'on y remplace x,jy z par Ç, y;, ^, et vice versa. On peut donc représenter l'équation du plan tangent sous l'une ou l'autre des deux formes

PLANS TANGENTS. l3l

L'équation (i4) montre que la courbe de contact de la surface avec le cône circonscrit qui a pour sommet le point (^,>3,(f) est plane.

Cette équation (i3) ou (14)9 ^^^ exprime la dépendance entre les coordonnées du sommet du cône et celles d'un point du plan de contact, montre que, si l'un des deux points {^j ^jX^)j {oCy y, z) décrit un plan, l'autre reste fixe, et réciproquement, et que, si l'un de ces points décrit une droite, l'autre décrit également une droite.

646. Le plan tangent sera parallèle à l'un des axes coordonnés, à l'axe des z, par exemple, si le coefficient y'(z) de Ç dans l'équation (5) est nul. Dans ce cas, les deux dérivées partielles

sont généralement infinies, sauf pour les points, en nombre limité, où le plan tangent serait parallèle à l'un des deux plans coordonnés qui passent par l'axe des z.

Si l'on cherche l'intersection des deux surfaces y( a;, j)^, z) = o, y^(z) = o, on a le lieu des points de la surface donnée pour lesquels le plan tangent est parallèle à l'axe des z. En éliminant z entre ces deux équations, on aura une équation ^{oc,y) =0, qui représentera soit la projection de la courbe de contact sur le plan des Xjj, c'est-à-dire le contour apparent de la surface relatif à ce plan; soit le cylindre projetant de cette courbe, c'est-à-dire le cylindre parallèle à l'axe des z et circonscrit à la surface.

On trouverait d'une manière analogue les contours apparents de la surface relatifs aux deux autres plans coordonnés.

647. La condition pour que le plan tangent soit parallèle à une droite donnée

abc

est exprimée par l'équation

af[x) + bf[y)^cf[z)z=o.

Cette équation, jointe à /(a:,j-, z) = o, donnera la courbe de

l3a LIVRE m. — GHAP. II, § II.

contact, lieu des points de contact des plans tangents parallèles à la droite donnée.

Si l'on élimine x,j, z entre ces équations et les équations

abc

on aura pour résultante Téquation en ^,77, ^, qui représentera le cylindre circonscrit à la surface et parallèle à la droite donnée.

648. Lignes de nii^eau et de plus grande pente, — Prenons le plan des xy pour plan horizontal. On appelle ligne de nit^eau une courbe tracée sur une surface donnée, et dont tous les points sont à une hauteur constante z = C au-dessus du plan horizontal. En d'autres termes, c'est l'intersection de la surface avec un plan horizontal.

Les équations finies d'une ligne de niveau sont

ou, ce qui revient au même,

C étant un paramètre constant pour chaque ligne de niveau, et \ariant d'une ligne de niveau à l'autre.

En éliminant cette constante par différentiation, il vient

r/« = o, ou pdx -{- qdj=zO,

Si l'on élimine z entre cette dernière équation et l'équation de la surface, on aura l'équation difTérentiellc, entre Xyj", dx, dj, de la projection horizontale d'une ligne de niveau, laquelle est égale à la ligne de niveau elle-même.

649. On appelle ligne de plus grande pente une ligne tracée sur la surface, de telle manière que sa tangente en chacun de ses points fasse avec le plan horizontal des x, y un plus grand angle que toute autre tangente à la surface, menée par le même point.

Considérons le plan tangent à la surface au point (x,^, z) ; celle des droites de ce plan qui fait le plus grand angle avec le plan des x,y est la perpendiculaire à la trace horizontale de ce plan tan-

LIGNES DE NlYEAU ET DE PLUS GRANDE PENTE. l33

gent. L'équation de ce plan étant

le coefficient angulaire de sa trace horizontale sera — -«La perpendiculaire à cette trace a pour projection sur le plan des x^y

une droite dont le coefficient angiilaire est + -» et, comme cette

projection doit être tangente à la projection de la ligne de plus

grande pente, on aura, en un point quelconque de cette ligne^

^ = 5^, ou — = ^.

dx p p q

En éliminant z entre cette équation dilTérentielle et Téquation f[xjjr, z) = o de la surface, on aura Téquation différentielle des projections horizontales de toutes les lignes de plus grande pente.

On voit que les projections horizontales des lignes de plus grande pente coupent toutes à angles droits les projections horizontales des lignes de niveau; en d'autres termes, elles en sont les trajectoires orthogonales.

Les lignes de niveau et les lignes de plus grande pente ellesmêmes se coupent aussi à angles droits dans l'espace. Elles forment ainsi deux systèmes de lignes, partageant la surface en un système d'éléments ayant la forme de rectangles infiniment petits.

650. Exemples, — L Soit une surface de révolution autour de Taxe des z^

On a

L'équation des lignes de niveau sera

const. =z/[.r* -^ J* )^ ou x' H- j* =r C.

Ces lignes sont donc des cercles.

L'équation différentielle des lignes de plus grande pente

^ — ? — I dx p .c

l34 LIVRE III. — CHAP. II, § H,

donne^ = G'x. Ces lignes sont donc les Intersections de la surface avec des plans passant par Taxe de révolution : ce sont donc les méridiens de la surface.

II. Soit la surface az = xj. On trouve, pour l'équation des lignes de niveau, xjr = G, et pour celles des projections des lignes de plus grande pente, j^ — j:*= G'. On a ainsi, pour les projections des deux systèmes de lignes, deux systèmes d'hyperboles équilatères orthogonales.

IJI. Soit une surface à centre du second degré

L'équation des lignes de niveau sera

On a ensuite

ax -h bzp = o, by -t- czq =z o,

d'où l'on tire, pour l'équation différentielle des lignes de plus grande pente,

dx br

dx ax

ce qui donne, en intégrant.

THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — DOUBLE COURBURE DES COURBES WON FLANES. DÉVELOPPÉES.

651. Nous avons vu [631] que la plus courte distance de deux tangentes consécutives d'une ligne courbe est un infiniment petit du troisième ordre. Si l'on joint le point M (Jig. 60) à un point quelconque Q de cette plus courte distance TT', le triangle rectangle MTQ, dont le côté MT est infiniment petit du premier ordre et le côté TQ du troisième, aura son angle en M infiniment petit du second ordre [634]. Donc chacune des tangentes MT, M'T' fait avec le plan MQM' un angle infiniment petit du second ordre.

théorèmes' de géométrie infinitésimale. i35

De plus, la différence entre Thypoténuse MQ et le côté MT,

savoir

QT* QT*

V^MP+QJ- — MT=:

V^MT- -h QT- -h MT 2 W1'

est un infiniment petit du cinquième ordre. On peut donc, aux quantités près du cinquième ordre, prendre la somme MQ-I- QM' au lieu de MT -h T'M'; ou, ce qui est la même chose, on pourra

Fîg. 60.

considérer les tangentes consécutives d^une courbe comme formant un polygone infinitésimal circonscrit à la courbe, lequel aurait pour sommets des points quelconques pris sur les plus courtes distances de deux tangentes consécutives; et l'incertitude sur la longueur de chaque côté de ce polygone est une quantité du cinquième ordre infinitésimal, laquelle n'altère pas, par conséquent, la limite de la somme de ces côtés.

652. Considérons maintenant un arc de courbe fini, et partageons-le en éléments infiniment petits, tels que MM^ Prenons les points de division pour sommets d'un polygone inscrit et pour points de contact d'un polygone circonscrit [651]. On verra, comme dans le cas des courbes planes [538], que :

I® Le périmètre d'un polygone inscrit est toujours moindre que celui d'un polygone circonscrit quelconque ;

2^ Si l'on introduit de nouveaux, points de division, le périmètre du polygone inscrit croît, celui du polygone circonscrit décroît.

En effet, l'angle de chaque tangente avec le plan osculateur étant du second ordre, et chaque tangente différant de sa projection sur ce plan (ou sur le plan MQM') d'un infiniment petit du cinquième ordre, on peut, aux quantités près du cinquième ordre, remplacer

l36 LIVBE III. — CHAP. II, § III.

les lignes dans Tespace par leurs projections. Or une inégalité entre deux variables , U ^ V, subsiste encore, lorsqu'on altère ces variables de quantités infiniment petites par rapport à leur différence U — V. Soit maintenant £mt' une tangente en un point m, intermédiaire entre M et M'. On a, en considérant les tangentes comme se confondant avec leurs projections sur le plan MQM', le contour M£me'M'<^MTM', égalité indépendante de l'incertitude qui règne sur les longueurs des contours, puisque cette incertitude est du cinquième ordre, tandis que la différence des contours est du troisième [544].

3** Dans le triangle MQM', les angles en M et en M' étant infiniment petits, la différence (MQ-i- QM') — MM' est du second ordre par rapport à MM' [634].

Donc, lorsqu'on augmente indéfiniment le nombre des points de division, les périmètres des polygones inscrits ou circonscrits vont les uns en croissant, les autres en décroissant, et tendent les uns et les autres vers une limite commune. On démontrerait, par le raisonnement connu [237], que cette limite est indépendante du mode de subdivision de l'arc en éléments infiniment petits. (]ette limite s'appelle la longueur de l'arc de courbe.

L'arc infiniment petit MM' est compris entre la longueur de sa corde et celle du contour MQM'. Il diffère donc de sa corde MM' d'un infiniment petit du troisième ordre [544]; on aura donc, à un infiniment petit près du troisième ordre.

De plus, l'arc MM' diffère d'un infiniment petit du cinquième ordre de sa projection sur le plan osculateur en un de ses points.

653. Soient Mo, M|, M2 trois points infiniment voisins pris sur une courbe non plane; prenons le plan de ces trois points pour plan des xj. En désignant par t la variable indépendante dont les coordonnées sont des fonctions, soient ta, fo-i- ^'> ^0 H- /* 4- Ai les valeurs de t correspondantes aux trois points considérés. Les trois valeurs de 2,

THéORÂlIES DE GBOMÉTHIB INFINITÉSIMALE. l37

seront nulles. On aura donc les équations

= Zo»

En combinant la première équation avec la deuxième, et divisant par hy il vient

(.) o = z;+ !///. + gA»«+').

On a de même, au moyen de la deuxième et de la troisième,

En développant maintenant z\j z\y z\ de manière à mettre en évidence tous les termes du second ordre, on trouve

o =[z'„+ A4H-iA'(.:+ .')]+ 1a.k+ *(.:+. s")] + g//î«+s"';;

d'où, en ayant égard à l'équation (i), puis divisant par '»

(2) O = Zç H ^ [z^ -t- Si).

Par l'élimination de z\ entre les équations (i) et (2), îl vient

(3) Or=:z^ («o + O-

Ces équations montrent que z\ est infiniment petit du premier ordre, et z\ du second.

Si l'on considère maintenant un point correspondant à la valeur t = ^0 + ô de la variable indépendante, on a, pour ce point,

quantité infiniment petite du troisième ordre pour 9 infiniment petit. Donc, dans tous les calculs où l'on aura le droit de négliger

i38 Livm m. — GRAP. Il, § III.

les infiniment petits da troisième ordre, on pourra considérer la courbe comme située dans le plan MoMiM^ pour tous les points infiniment voisins de M^.

INous avons vu [632] que le plan osculateur est celui dont la distance à la courbe, dans le voisinage du point de contact, est du troisième ordre. Donc le plan MoM|M2y passant par trois points de la courbe infiniment voisins, a pour limite le plan osculateur, quel que soit le rapport des cordes M0M4, M| M2.

De même,

^,.^l,.(3^^,=[dli±M îi^,^^](,-^.,

donc z' est infiniment petit du second ordre dans le voisinage de Mo, et il en est de même de l'angle que fait avec le plan MoM| M2 toute tangente ou toute corde infiniment petite, menée dans le voisinage du point Mo.

Enfin on a

=''==;+e(3:+.) = (- îA±^+o)(c:

quantité infiniment petite du premier ordre ; donc la courbure

(en prenant t = x) de la projection de la courbe sur un plan perpendiculaire à Mo M{ M2 est infiniment petite et change généralement de signe avec la différence 6 — ^(aA-h/ii); donc cette projection aura, en général, un point d'inflexion dans le voisinage de Mo- On en conclut que le plan osculateur traverse généralement la courbe au point de contact.

654. Si Ton mène les plans normaux à la courbe en Mo et en M|, ces plans formeront, avec les plans normaux aux mêmes points à la projection de la courbe sur le plan Mo M| M2, des angles infiniment petits du second ordre ; donc leur intersection rencontrera le plan Mo M4 M2 à une distance infiniment petite du point de rencontre des normales en Mo et M| à la projection. Donc le centre

ANGLE DE CONTINGENCE. iSq

de courbure de la courbe elle-même, c'est-à-dire la limite de l'intersection du plan osculateur avec deux plans normaux infiniment voisins, coïncide avec le centre de courbure de la projection de la courbe sur son plan osculateur.

Nous savons d'ailleurs que le centre de courbure de la projection est aussi la limite du centre d'un cercle passant par les trois points Mo,M|, M2; donc le centre de courbure de la courbe proposée est aussi la limite du centre d'un cercle passant par trois points infiniment voisins, lequel centre est l'intersection du plan de ces trois points avec les plans perpendiculaires sur les milieux des cordes Mq M| , M 1 M 2.

655. Soient a, by c les cosinus des angles qu'une droite mobile fait avec les axes, dz Tangle de deux positions de cette droite infiniment voisines. On trouvera, par le même calcul qu'au n^ 558, l'équation rigoureuse

2 sin — = ^da* -4- dû* -+- dc^ ,

d'où l'on tire, à un infiniment petit près du troisième ordre,

(1) dT= yjdu^ -h db* -+- dvK

En appliquant cette formule au calcul de l'angle de deux tangentes infiniment voisines ou de l'angle de contingence, il vient,

, - dx dy dz

en remplaçant a. OjC par -—> -=-> -r»

* ^ ds as ds

Le second membre de cette formule représente rigoureusement le double du sinus du demi-angle de deux cordes consécutives, correspondantes aux valeurs f, « -j- dt^ ï -h arf/^ de la variable indépendante, valeurs qui déterminent trois points équidistants, aux infiniment petits près du second ordre. On peut donc prendre, pour l'angle de contingence, l'angle de deux cordes égales consécutives [545].

l4o LIVRE III. — CHAP. II, § III.