La valeur de dr^ peut s'écrire

[dsd^x — dxd^s]^-\- . . .

ds^

^.v»(rf«.r«-|-. . .) — 'idsd^s[dxd^X'\-, . .) H- (r£r*H-. .W'^* ~ d?

On démontrerait géométriquement cette formule par un raisonnement semblable à celui du n^ 563, et ce raisonnement servirait, réciproquement, à démontrer l'égalité entre Tangle de contingence et celui de deux cordes consécutives égales ou infiniment peu différentes.

657. On peut encore établir ces formules comme au n^ 560, en projetant sur les trois axes coordonnés le contour d'un triangle isoscèle dont les côtés égaux MT, MT' sont parallèles à deux tangentes infiniment voisines, et dont le troisième côté TT' a pour limite une parallèle à la normale à la courbe située dans le plan osculateur, c'est-à-dire à la normale principale, prise dans le sens de la concavité de la projection de la courbe sur le plan osculateur, c'est-à-dire dans le sens qui va vers le centre de courbure.

On en tire, à cause de TT'= MT.2 sin-rfr = MT.rfr, à un

infiniment petit près du troisième ordre,

da db de f—r -j^ ---

dz =z ^ = z= = Jda^ -f- db* -+- dc^ ,

COSA COSfA COSV ^

, , ... dr dr dz .

a, o, c étant mis ici pour -r-> -r-> -r-; donc

* ds ds ds

I dx I dv I dz

COSX=-— rf— -? C0Sa=-— rf-^ï COSV=-7-rf-r--

«7 ds dx ds «T ds