C.r -4- C'j -+- Cz -hC=o
La courbe serait donc, dans ce cas, une courbe plane.
THÉORÂMES SUR LES GOURBIS NON PLANES. l45
663. Le quadrilatère FabU est inscriptible à un cercle ayant pour diamètre le rayon FH = R de la sphère osculatrice. Donc ce cercle est tangent au lieu des centres de courbure.
1 (irc L^angle inscrit rfu = p-rr — r — • En désignant donc par da la
distance ab de deux centres de courbure consécutifs, on a
Le triangle rectangle abn donne ou
(4) ^cr*— 4«-4-p«Jv*.
On peut donc écrire Téquation (3) sous la forme
Le triangle Fa H étant rectangle, et Fa = p, on en conclut que la distance du centre de courbure au centre de la sphère osculatrice a pour expression
comme on le voit d'ailleurs, en considérant le triangle rec-
tangle Hnb.
Les triangles semblables nab. Fa H donnent (6) do=zd(TCOs{p, d(j) ^^d^sin^pyK],
L'angle (p, rfd) = - — (p, R) n'est nul que pour (p, R) = -, ce
qui donne R = qo, du = o(3), et alors la courbe sera nécessairement plane.
Si Ton mène bm perpendiculaire à FH, on voit facilement que iH et JF sont les deux bissectrices des angles wJa, mbc.
664. Le lieu des axes de courbure est une surface développable, appelée surf ace polaire, qui a pour arête de rebroiissement le lieu des centres de la sphère osculatrice.
H. ^ Cours de Calcul infin., II. I O
l46 LIVRE III. — CHAP. II, § III.
L'angle de contingence de cette arête de rebroussement, ou Tangle de deux axes de courbure consécutifs , est égal à Tangle de torsion de la courbe proposée.
L'équation de la surface polaire s'obtient en éliminant x,^, z entre les deux premières équations ( i ) et les équations de la courbe. Si l'on y joint la troisième équation (i), on aura le lieu du centre de la sphère osculatrice.
Le lieu des centres de courbure est une courbe tracée sur la surface polaire. On aura ses équations^ en éliminant x^js z entre les deux premières équations (i), les équations de la courbe, et celle du plan osculateur.
665. Par un point A, pris sur la courbe, menons une normale quelconque, rencontrant l'axe de courbure aa. au point a. Joignons ol au point suivant A' de la courbe, et prolongeons A'a jusqu'à la rencontre en a' de l'axe de courbure a'a', correspondant au point A'. Joignons a' au point suivant A", et prolongeons A''a' jusqu'à la rencontre en aJ^ de l'axe de courbure a":/." ^ correspondant au point A" ^fig^ 62). En continuant ainsi, on formera, par
Fig. 6a.
les intersections successives des normales , un polygone infinitésimal, dont la limite sera une courbe enveloppe de ces normales, et qui jouira des diverses propriétés que nous avons démontrées [583, 584, 585] pour les développées des courbes planes. On donnera, pour cette raison, le nom de développées de la courbe quelconque KP^hl' . . . aux diverses courbes enveloppes des normales, que l'on peut former d'après ce qui précède. Toutes ces développées sont situées sur la surface polaire de la courbe proposée.
DÉVELOPPÉES DES COURBES NON PLANES. l47
Le point de départ a étant pris arbitrairement sur Taxe aa, il s^ensuit de là que la courbe a une infinité de développées. Si la courbe est plane, la surface polaire est un cylindre, dont la section droite, intersection du cylindre avec le plan de la courbe, est une développée, qui coïncide avec le lieu des centres de courbure.
Si la courbe n'est pas plane, et que « soit le centre de courbure du point A, Âa ne sera pas tangent au lieu des centres de courbure [663]. Donc ce lieu ne coupe chaque développée qu'une seule fois ou qu'un nombre limité de fois.
666. Si l'on fait tourner le plan normal Aaa autour de aa, jusqu'à ce qu'il vienne s'appliquer sur le plan normal suivant, A'a'a'aa, A décrira un arc de cercle autour du centre de courbure de la courbe en A, et viendra se placer en A', tandis que A a décrira un cône droit autour de l'axe a«, pour venir s'appliquer sur A' a'. Donc l'angle Aaa = A'aa, et, par suite, lorsque le plan normal en A tourne autour de l'axe de courbure pour venir passer par A', la ligne A'aa', dans le développement de la surface polaire sur un plan, se trouve recouverte par Aa. Donc la développée devient une ligne droite. Ainsi toutes les développées sont des lignes géodésiques de la surface polaire, c'est-à-dire qu'elles jouissent de la propriété d'être les lignes les plus courtes que l'on puisse mener sur la surface entre deux de leurs points. Ce sont les courbes qu'affecterait un fil tendu sur la surface entre deux points donnés sur celle-ci.
De là un moyen mécanique pour décrire une courbe d'un mouvement continu, à Taide d'un fil dont un point A est placé en un point donné de la courbe, tandis que les deux moitiés du fil sont tendues sur la surface polaire suivant deux développées différentes. En déroulant les deux branches du fil, le point A décrira la courbe.
Si on laissait le point A fixe, ainsi que son axe de courbure a a, et que l'on développât la surface polaire sur le plan Aaa, les deux développées viendraient se placer sur les prolongements des deux normales au point A, le fil restant toujours librement tendu. Donc si, au lieu de faire mouvoir la surface polaire, on fait mouvoir son plan tangent Aaa, les deux branches du fil formeront toujours un angle constant. Et réciproquement, une ligne située dans le plan tangent
lO.
mobile, et faisant avec a A un angle constant, sera constamment tangente à une seconde développée de la courbe A A' A'' A''''. . . .
Si la courbe donnée est, par exemple, une développante du cercle, toutes ses développées seront des hélices tracées sur le cylindre qui a pour base la développée plane, c'est-à-dire le cercle.
667. On a les équations différentielles des développées d'une courbe, en écrivant :
i** Que la tangente à la développée rencontre la courbe proposée, ce qui donne les équations
^^^ di dn d% ^
2^ Que cette tangente est située dans le plan normal à la courbe, ce qui donne
(8) (Ç — or) dLc H- (i; — j) dj -^ ('Ç -^ z) dz z=z o.
De ces équations, il résulte que :
1*^ En remplaçant ^ — x, y; — jy ^ — z par les quantités qui leur sont proportionnelles, en vertu des équations (7), on a
(9) d^ dx -h di) dy -{- dZ dz = o,
ce qui exprime, comme on devait s'y attendre, que la tangente à la développée est normale à la courbe.
a° En différentiaiit l'équation (8) et ayant égard à la condition (9), il vient
(10) [^ ^ a:]d^x -\- ['c -- x) d^x -^ [K— z) d^z =dsK
Or l'ensemble des équations (8) et (10) représente la surface polaire [664]. Donc, comme nous l'avions déjà vu d'une autre manière [665], toutes les développées sont situées sur la surface polaire, ce qui fait déjà connaître, sous forme finie, une équation commune à toutes ces courbes.
3** En appelant di l'élément d'arc de la développée, et p la distance Aa des points (^, J", z) et (^, yî, Ç), les équations (i)
DEVELOPPEES DES COURBES NON PLANES. l49
donnent
Lzif = iHiT = ini ^± v^(s-'^)'-t(^-j)'+(^-3J"«
^5 *^v ^^ \JdV -t- rfîj» + rfç»
Or, en vertu de Téquation (8), le numérateur de la dernière fraction est égal k pdp; donc
±P^PA d'où dp=:-±d^,
dfi a(r
propriété analogue à celle que nous avons démontrée [577] pour les développées planes des courbes planes.
4® Pour obtenir l'équation générale des projections des développées sur le plan des xjr^ par exemple, on tirera des équations (8) et (lo) les valeurs de Ç et de la variable indépendante t en fonction de \ et de y}, ce qui donnera aussi, au moyen des équations de la courbe, les valeurs de a: et de j en Ç et y). En substituant ces valeurs dans l'équation
"Vf" "" dn '
on aura une équation différentielle du premier ordre entre \, vjf
-7-9 dont l'intégration donnera une équation finie entre ^, rt et une
constante arbitraire. Cette relation, jointe à l'équation de la surface polaire, représentera toutes les développées de la courbe proposée.
§IV
COURBURE d'une SURFACE EN UN POINT DONNÉ.
668. Proposons-nous d'étudier les lois qui régissent la courbure des diverses courbes que l'on peut tracer sur une surface par un de ses points.
Soit MM' (Jig' 63 ) une courbe quelconque tracée sur une surface, et soit MM'^ la section faite dans la surface par le plan oscu-
l5o LIVRE III. — CHAP. II, § IV.
laleur à cette courbe au point M. Du point M', infiniment voisin de M, abaissons M'P perpendiculaire sur le plan osculateur; menons PM'' perpendiculaire sur MM'', et joignons les points M', M". Le plan MM'M'^ ayant pour limite [640] le plan tangent à la surface, puisque M'M'' fait un angle fini avec MM', Tangle M'M"P sera fini, si le plan osculateur de la courbe MM' fait un angle fini
Fi(j. 63.
avec le plan tangent à la surface en M. Donc M'P et M'M" sont des infiniment petits du même ordre, et par conséquent M'M" sera du troisième ordre [632]. On pourra donc négliger M'M" toules les fois que l'on n'aura à tenir compte dans le calcul que des infiniment petits du second ordre, pour la recherche des limites de rapports. Il en est de même de la difl'érence de longueur entre MM' et MM", laquelle sera infiniment petite d'ordre supérieur au second; donc, dans le calcul de la courbure de la courbe MM' au point M, on pourra substituer à cette courbe la section plane MM", faite par son plan osculateur.
Donc, pour étudier les courbures des différentes courbes que Ton peut tracer sur une surface par un point donné, il suflit d'étudier les courbures de toutes les sections planes de la surface menées par ce point.
669. Tliéorème de Meusnier, — Si l'on considère toutes les sections planes qui ont même tangente, les courbures de toutes ces sections sont liées par une relation très-simple à la courbure de la section normale menée par cette tangente.
Soient MT {Jig* 64) '^ tangente commune, MM' la section nor-
male, et MM" une section oblique, dont le plan fait avec celui de MM' un angle e. Par le point T de la tangente, infiniment voisin
THÉORÂME DE MBVSNIER. l5l
du point M, menons un plan perpendiculaire à cette tangente, qui coupe les deux courbes en M' et en M''. Les distances M'T, M'^T étant du second ordre [804], les arcs MM', MM" ne différeront de MT et entre eux [844] que d'infiniment petits du troisième ordre. De plus, les angles M'MT, M^'MT des cordes avec la tangente sont les demi-angles de contingence [541] correspondants à la longueur d'arc MM'== MM''= ds; donc les rayons de courbure des deux courbes sont
ds ds* ^ ds ds*
aM'MT aM'T • 2M'MT 2M"T
D'autre part, le triangle M'M'^T est rectangle en M', puisque le plan MM'M^'a pour limite le plan tangent, lequel est perpendiculaire* au plan normal MTM'; donc M'T == M"Tcose, et par suite
p'=: p cosc.
670. Autrement, prenons le plan tangent pour plan des xj^ et la section normale pour plan des zx. Soient a? Ou {fig» 65) le plan
Fig. 65.
de la section oblique, u son ordonnée parallèle à Ou. Son rayon de courbure sera
, {dx* ~h du* y ^ ~" d,vd*u Or on a
2--«cos«, ^=::wsinf, dz=z ducost =2 pdx -^ qdy^ d*z=^ d*ucoss, djri=:duûni.
De plus, puisqu'on a pris le plan tangent pour plan des xy, on doit avoir p =: ^ = o, d'où résulte, aux infiniment petits près du
l52 LIVRE III. — GHAP. II, § IV.
second ordre,
dzz= O, du =2 0, djr=zO;
puis, r, Sf t représentant les dérivées partielles du second ordre d^ d^z d^
d*z=pd*x M- qd*f -+- rdx* -{- isdxdjr '\^ tdj^ =. îda^\ donc
cosc
En substituant ces valeurs dans l'expression de p* il vient
, cose
Pour e = o, p'= - = le rayon de courbure p de la section normale; donc
p' = p COSf.
On conclut de là que si, sur p comme diamètre et dans un plan perpendiculaire à la tangente commune, on décrit un cercle, ce cercle sera le lieu des centres de courbure de toutes les sections tangentes à cette tangente commune.
671. Tliéorème d'Euler, — Considérons maintenant les courbures des diverses sections normales menées par un même point de la surface.
En supposant toujours que le plan tangent en ce point soit pris pour plan des xjy on a, pour x ety infiniment petits,
63 étant un inflniment petit du troisième ordre; donc la surface se confond, aux infiniment petits près du troisième ordre, avec le paraboloïde qui a pour équation
et que Ton nomme le paraboloïde osculateur à la surface au point
INDICATRICE. • l53
considéré. Les sections normales de ce paraboloïde ont donc même courbure que les sections correspondantes de la surface.
Soit une section normale quelconque, menée par Taxe Mz et le point M'(x, J'y z)y infiniment voisin de M. On a, aux infiniment petits près d'ordre supérieur au premier,
MM' = v^x« -h 7» -f- 3* = ^x* -+-7*.
D'ailleurs l'angle de contingence dr = zrrn] donc la courbure de
la section a pour valeur
I dr iz
p ~MM' ""MM'»'
Si l'on appelle cf l'angle du plan zMM' avec le plan des zXy
x:=zyifA'.COSf, ^=:MM'.sinf,
on aura *
d'où
(i) - = ,.,,,. =: rcos'flp -f- ^xsmycosflp + fsin'y.
^ p MM'*
En considérant maintenant tous les points de la section faite dans la surface par un plan parallèle au plan tangent et mené à une distance infiniment petite (du second ordre par rapport aux dimensions de la section) de ce plan tangent, les courbures - des
sections normales passant par ces divers points seront proportionnelles aux inverses ,,,.,^ des carrés des demi-diamètres de cette
