La valeur de dz^ peut encore se mettre sous la forme

r/j*r/T' — (^» -+-... ) (r/'x* -f- . . . ) — [dxd^x -4- . . . )«

dy dz d^X d^z

dz dx d^z d^x

* dx df *

Les trois déterminants qui entrent dans cette valeur ne sont autre chose que les trois quantités /, m, n, proportionnelles [633] aux cosinus des angles que le plan osculateur fait avec les trois plans coordonnés. En désignant donc ces trois déterminants par 1, niy rij et la somme de leurs carrés par k^, on a

X — ^/« + /72* -+- n^ = ds'^d'.

660. Les cosinus des angles du plan osculateur avec les plans

coordonnés, ou de l'axe du plan osculateur avec les axes des a:, r, z,

seront, d'après cela,

Donc l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins, que Ton appelle V angle de torsion ou de seconde courbure de la courbe, aura pour valeur

■ 4^ LIVBB III. — CBÀP. II, § III.

En développant cette expression, il vient

(/«-h...WX«

A^fdl^-h.,.^ —ikdk.kdk'-^k^.dk^ I

= j-^[dJ}+dm^

dn* — dk^ )

==- [[rf/« -h... )(/' + ... )-(/^/ + ...)«]

Or on a

/ m dl dm

mdn — ndm = m\dxd^y — dyd^x) — n[dzd^jr. — xd'^z\ = dx{md*X-{-n(Pz) — [mdj- -{- ndz)d^x.

D'ailleurs Idx -h rndy-h ndz = o; donc

mdn — ndm z= dx[ld^x -h md^y -+- nd^z)^

dx dy dz d^x d^y d^z d^x d*y d^z

ou, en posant A.==

m n dm dn

= fix . A,

et de même pour les autres; donc

ds __ A ^* ^ "" dFd?

Si Ton appelle r le rayon du cercle dont Tangle de contingence est d\j pour une même longueur d'arc ds, et que l'on nomme cercle de seconde courbure de la courbe proposée, on a, pour déterminer le rayon de seconde courbure ou rayon de torsion, l'équation

I dit A

r ds ds^ dT*

En désignant par â la distance de deux tangentes consécutives, on a [631 ]

8PUERE OSGULATRICE.

d'où Ton tire, en mettant pour k sa valeur,

as a T r

661. Considérons trois côtés consécutifs AB, BG, CD {^fig* 61) d'an polygone infinitésimal, ou trois éléments de la courbe qui est la limite de ce polygone, ces côtés étant de longueurs infiniment peu différentes entre elles. L'intersection de deux plans perpen-

Fîg. 61.

rfjji

çOdT

diculaires sur les milieux de deux côtés consécutifs de ce polygone, ou l'intersection de deux plans normaux consécutifs à la courbe, est une perpendiculaire aH au plan osculateur ABC. Cette perpendiculaire s'appelle Vaxe de courbure de la courbe au point B.

Le centre de courbure est l'intersection a de l'axe de courbure avec le plan osculateur. Le rayon de courbure est p = Ea. L'angle de contingence dr est égal à l'angle EaF de deux normales consécutives, menées dans le plan osculateur en B, et dont l'une Ea est la normale principale pour le point B.

Le plan normal en F contient deux axes de courbure consécutifs, qui se coupent au centre H de la sphère osculatrice, c'està-dire de la spbère qui passe par quatre points consécutifs de la courbe.

Les coordonnées du point H s'obtiendront en cherchant l'intersection de trois plans normaux consécutifs, c'est-à-dire en ré-

l44 LIVRE m. — CHAP. II, I III.

solvant les équations [556]

( (; — j:) r/x H-(„— ^) djr -f.(Ç — 3) dz = o,

(i) I (;-.r)rf«x-h(iî— r)<^*r-^-(^ — 2)rf«2==d:y»,

dont les deux premières représentent Taxe de courbure. On en tire, en conservant les notations du numéro précédent, et remarquant que Ton a 3udsf — v rfu = — i^* d - »

r/.ç* , / dà* , m ds* ti

En prenant la racine carrée de la somme des carrés de ces trois expressions, on a, pour le rayon R de la sphère osculatrice,

662. Si Ton mène Fa' parallèle à Ea, et qu^on appelle d(f Tangle bFa' de deux rayons de courbure consécutifs, l'angle trièdre infinitésimal, formé par Fa, Fa^ Fb, rectangle suivant Fa, a pour faces de Tangle dièdre droit Tangle de contingence ^r et Tangle de torsion d\J, et Ton aura, par conséquent,

f2) df^=d'^'^d^j\

Donc, dans les courbes non planes, l'angle de deux rayons de courbure consécutifs est, en général, plus grand que l'angle de contingence.

11 ne serait égal à l'angle de contingence que dans le cas où l'angle de torsion d\j serait nul, ce qui exigerait [660] que l'on eût séparément

//y = 0, tf--=o, ^-=o,

d'où

et enfin