Si Ton mène les axes principaux de la conique, lesquels

l54 • LIVRE III. — CHAP. II, § IV.

correspondent aux valeurs maximum et minimum du carré du demi-diamètre, on aura les sections principales de la surface, correspondantes à un minimum et à un maximum de la courbure.

Pour trouver ce maximum et ce minimum, considérons - comme

une fonction de <p. On aura

D^---i{t — r)cosf siny H-2 5(co8*y — sin*^) rr^ [i — r) sin2^-f-afcos2^,

quantité qui s^annulera pour

tang2^ =

Cette valeur de tang2cp déterminera deux directions rectangulaires entre elles, répondant aux angles cpi, cps- On a ensuite

ï .^« ' / \ . COS2»-. .- , -

~ D« - r^ (/ -^ r) cos2y - is sm 2y == - j [[r- r)'- 4- 4*»],

quantité qui change de signe lorsqu'on fait tour à tour 9 = f i et (y = ^2 1=: y, -f- - -, donc Tune des directions répond à un maximum

de -9 Tautre à un minimum.

673. Si Ton prend les axes principaux de Tindicatrice pour axes coordonnés, le terme en xy disparaît. On a donc alors 5=0. Ainsi les axes principaux de l'indicatrice ont la propriété de faire

évanouir » lorsqu'on les prend pour axes des x et des y^ ce

qui simplifie l'expression de la courbure.

Si l'indicatrice est une ellipse, ou si l'on a

rr — 5» > o, il vient alors

z--- \\rx H- sy]^ H- [rt — s^)y^\

quantité de signe constant, comme l'est aussi p ; donc alors la surface est tout entière d'un même côté du plan tangent : elle est dite uniconvexe.

Si l'indicatrice est un cercle, toutes les valeurs de f sont égales

THÉORÈME d'BULBR. i56

entre elles. Le point de la surface est dit alors un ombilic ou un point de courbure sphérique.

Dans le cas de l'indicatrice elliptique, on a, au point considéré, un maximum ou un minimum de l'ordonnée z, perpendiculaire à un plan parallèle au plan tangent. On voit alors quelle est la signification géométrique de la condition rt — j- > o, qui doit avoir lieu [403] pour que la fonction z ait un maximum ou un minimum.

Si l'indicatrice est hyperbolique, c'est-à-dire si Ton a

rt — 5'<o,

cette indicatrice se composera des deux hyperboles conjuguées, dont Tune correspondra aux valeurs positives de z et de jO, l'autre aux valeurs négatives. Les asymptotes seront les lignes de séparation des deux régions de la surface dont les courbures sont de sens contraire : elles sont tangentes à l'intersection de la surface avec le plan tangent, et elles correspondent aux valeurs de l'angle f données par l'équation

— .ç rt i/.v- — rt tangyrrz^ y

Pour ces directions, on a la courbure - = o. Ce sont les sections

P de courbure nulle.

Si l'on a

l'équation de l'indicatrice peut se mettre sous la forme

(3) l[rx^syY^:tz,

et elle représente deux droites parallèles, dont la direction correspond à - = o. Pour toutes les autres directions, - a un signe constant; - est maximum pour la direction perpendiculaire aux droites (3), c'est-à-dire pour une valeur de y telle que l'on ait

s t tang y = - = - .

l56 LIVRE III. — CHÀP. II, § IV.

674. Soient R, R' les rayons de courbure principaux, c'està-dire les rayons de courbure des sections principales. Les demi-

axes de l'indicatrice seront y^2zR et y^2zR', et Téquation de l'indicatrice, rapportée à ces axes, sera

d'où l'on lire, en posant [671 ] a:= MM'coscp, j^ = MM'sinç, MM*

Telle est l'expression de la courbure d'une section faisant un angle (j) avec la section principale dont la courbure est - •

Pour rt — s^ = o, R'= ao , et l'équation précédente se réduit à

I COS* f

R étant le minimum du rayon de courbure.

Si l'on désigne par pt le rayon de courbure de la section perpendiculaire à celle que fait l'angle (f avec l'axe des x, la formule

(4) donnera, en changeant op en y -f- - »

I sin'y cos*^)

^"""Rr"^"!'"'

d'où l'on tire

ce qui correspond à une propriété connue des diamètres rectangulaires d'une conique.

Pour rt — .9*= o, cette dernière relation se réduit à

1 zz: -.

p pi K