Soit M' {Jig» 66) un point quelconque de l'indicatrice
TANGENTES CONJUGUÉES. l57
La tangente à Tindicatrice en ce point est parallèle au conjugué du diamètre mM', mené au point de contact. Si l'on mène par M^t le plan tangent à la surface, la trace de ce plan sur le plan tangent en M sera parallèle à M't, et par suite aussi au diamètre conjugué
Fig. 66.
de TwM'. Donc cette intersection et le diamètre mM' -ont pour limites respectives deux, tangentes à la surface, MT et MT', parallèles à deux diamètres conjugués de l'indicatrice. Ces tangentes sont dites des tangentes conjuguées, et les sections normales correspondantes, des sections conjuguées.
Si p et p' sont les rayons de courbure de ces sections, a leur anglc; on a, par les théorèmes d'Apollonius,
p + p' = R -i- R', pp' sin« a = RR'.
CALCUL DES ÉLÉMENTS DE LA COURBURE d'uNE SURFACE EN UN QUELCONQUE DE SES POINTS. OMBILICS.
676. Soient, sur une surface, M et M' deux points infiniment voisins; MN, M'N' les normales à la surface en ces points ; MAM' la section normale de la surface, faite par le plan NMM' {/ig. 6y) ; O le centre de courbure de cette section, dz son angle de contingence.
Si nous menons les plans tangents en M et en M', l'intersection BB' de ces deux plans et la corde MM' auront pour limites deux tangentes conjuguées. Soit ^ = MAB l'angle de ces deux tangentes.
Parles normales MN, M'N' menons deux plans perpendiculaires
l58 LIVRE III. — GHAP. II, § V.
à 66'. Ces plans détermineront la plus courte distance
des deux normales infiniment voisines. 66' est la projection de
Fîg. 67.
MAM'= ds sur une direction faisant avec ds l'angle 0. Donc cette plus courte distance aura pour expression
J = ds cos$.
Les normales en deux points infiniment voisins ne se rencontrent donc que lorsqu'on a cos0 = o, ou lorsque les deux tangentes conjuguées sont rectangulaires entre elles, ce qui a lieu seulement lorsque MM' est une section principale,
677. Menons par M' une parallèle M'Q à MN. Les deux droites M'O, M'N' étant perpendiculaires à AM', leur plan sera perpendiculaire au plan NMAM'QO, qui passe par AM'. Donc l'angle trièdre M'OQN' est rectangle suivant M'O.
Déplus, les plans 6'M'QN', OM'N', respectivement perpendiculaires à A6', AM', font entre eux le même angle 9 que ces deux droites.
Si donc on désigne par rfw l'angle QM'N' des deux normales ou des deux plans tangents en M et en M', et par d^ V angle de déifiation de la normale, c'est-à-dire l'angle OM'N' que fait la normale en M' avec le plan NMM' Q de la section normale en M ,
COURBURE EN UN POINT QUELCONQUE D'UNE SURFACE. iSg
l'angle trièdre M'ON'Q sera mesuré par un triangle sphérique inflnitésimaly qui aura pour angles ~> 6, 9. et -pour côtés respectivement opposés doUj dr, d^. On aura donc
^ ' sinQ cosG
Pour obtenir enfin la distance du point M au pied N de la perpendiculaire NN'y commune aux deux normales consécutives, menons NQ perpendiculaire à M'Q (et parallèle à MM'); N'Q sera aussi perpendiculaire à M'Q (et parallèle à B'M'). L'angle
N'QN^B'M'A^ - — 0; Tangle N'NQ =i^ B'AM'= 9, d'où
NN'Q= -> et par suite NN' est perpendiculaire au plan M'N'Q.
D'ailleurs îiQ = ds; donc N'Q -- M'Q.rfw = rf^sinfl,' et par suite
(3) M'Q = MN= ^sinô.
di
D'après ces équations, si nous connaissons dta et 6, nous en pourrons déduire les valeurs des angles dz, d^ et des distances $, MN, d'où l'on tirera le rayon de courbure de la section normale
MM^p=$.
678. En appelant a, ^, y les cosinus des angles que fait la normale MN avec les axes coordonnés, on a d'abord [655]
Pour avoir 6, il faut chercher l'intersection des plans tangents en M et en M', puis l'angle que cette intersection fait avec MM'. L'équation du plan tangent en M est
En différentiant cette équation par rapport aux coordonnées de la surface [556], et remarquant que l'on a, par la propriété de la normale,
(5) adx -h pdf '{'ydz:= o,
on trouve
éfa(Ç — x)-*-rf/3(ï3— ^) 'hdy[K — z) = o.
dp dy
dy doL
doc dp
En combinant ces deux équations, il vient, pour les équations de BB',
g — -g TQ — .r K — z
A "" B "" C ' en posant
On a maintenant
= [P^-hy*)da*-h.,.'-2(Pydpdy-h...) = (a* + ]3* -4- 7*) (rfa' + €/(3»-H ^7»)
— 2(|37£/pd'7-4-...)— («Va» -4-.. .) = (a» -h |3» + 7*) (rf«» -H ^/3» -t- dy^)—[Kdcc
Pdp^ydy]\
ou, à cause de «^ H- j3- H- y- = i , d'où a rfa -h (3 d/3 H- y rfy = o,
A* + B' -h C^ 1= rfa» -+- ^P' -H ^7« = £/«».
Donc les cosinus des angles de BB' avec les axes sont
dca d(ù d(ù
Les cosinus des angles de MM' avec les axes étant
dx
f/r dz
ds ds ds
on en conclut, pour le cosinus de l'angle cherché.
cosO =
Ar/.r H- Bdy -+- Cdz
a p y da dp dy dx dy dz
d(ù ds d(d ds
Par conséquent,
[df^ids ûïiBY — [Éi} + B« + C» ) [dx^ + ^r» + r/z* ) — (Aé£r 4- Brfj-
A B djc dy
Cdz)
dy dz
dz
dx
COURBVRE EN UN POINT QUELCONQUE D*UNE SURFACE. l6l
Or on a
dy dz
[yda — OLdy)dz — ( « ^j3 — pdoi)djr doL^adx -h pdjr -\- ydz) — a[dot,djc -f- . . . ) .
OU, en vertu de Téquation (5),
df dz
-~ — OL[doLdjc -4- dpdjr -f- dydz).
et de même pour les termes analogues. Donc, à cause de
on a
. dad,r -f- d^dj -f- dydz
sm6 r
d(fids
On conclut de là et des équations (2)
. dKd.r -\- dpdy H- dydz
u ( cf-w atiA V —
ds
d^l d<ùCo^$
ds
r/a dp dy dx dy dz
î dr dixd.r -4- d^dy -f dydz
ds ds^
679. Si Ton suppose l'équation de la surface donnée sous la forme F(x, j^, 2) = o, et que l'on représente par
Xcir 4- Yf(r -f- Idz = o
sa différentielle, on aura, en posant S =y/X^4- Y^-H Z^, pour
abréger,
H. — Court de Cale, infinit., II.
l6.A LIVRE III. — GHAP. Il, § V.
d'où Ton lire, par un calcul semblable à celui du n^ 660^
r/û) zzz
rfY r/Z
On a ensuite, à cause de
iPi
en
f vL( • • • t
abc
(la flb de
dY dL
dx (Ijr dz
dx
dr
dz
en désignant par À le dernier déterminant. De plus, à cause
de (il),
. .X ^ Y ^ ,Z dXdx-^dYdr -^ dZdz dxd~-hdfd---^dzd-^=: ^^-^
Substituant ces valeurs dans les équations (6), [y], il vient
A . ^ dXdjr -\- dYdr -4- dZdz ces z^ ^. . . 9 sm B --—
S*dsd(a
Sdsdta
d'où l'on tire ensuite les expressions de dr, d^, S, etc.
Si l'on introduit les dérivées partielles p, if, il vient, en posant
k = yjp^' H- V- 4- i',
X=/?, Y = q, Z d'où l'expression (12) devient
I, S=zk;
éf» = — ^dp* -h É?^* -h {/? rfg — ^fl^)*.
